Постройте график функции y = (0,75x²-1,5x)⋅|x| / x-2. Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Построение графика функции и определение значений m

Для начала проанализируем функцию и построим ее график, а затем определим, при каких значениях m прямая y = m не будет иметь общих точек с графиком функции.

Анализ функции

Функция задана как: \[ y = \frac{(0.75x^2 - 1.5x) \cdot |x|}{x - 2} \]

Рассмотрим два случая: x ≥ 0 и x < 0.

Случай 1: x ≥ 0

В этом случае |x| = x, и функция принимает вид:

\[ y = \frac{(0.75x^2 - 1.5x) \cdot x}{x - 2} = \frac{0.75x^3 - 1.5x^2}{x - 2} \]

Упростим выражение:

\[ y = \frac{0.75x^2(x - 2)}{x - 2} \]

При x ≠ 2:

\[ y = 0.75x^2 \]

Случай 2: x < 0

В этом случае |x| = -x, и функция принимает вид:

\[ y = \frac{(0.75x^2 - 1.5x) \cdot (-x)}{x - 2} = \frac{-0.75x^3 + 1.5x^2}{x - 2} \]

Упростим выражение:

\[ y = \frac{-0.75x^2(x - 2)}{x - 2} \]

При x ≠ 2:

\[ y = -0.75x^2 \]

Особые точки

Необходимо учесть точку x = 2, где функция не определена. В этой точке будет разрыв.

При x = 2:

\[ y = 0.75 \cdot 2^2 = 0.75 \cdot 4 = 3 \]

Таким образом, в точке x = 2 функция не определена, и на графике будет «выколотая» точка (2, 3).

График функции

График состоит из двух частей:

• Для x ≥ 0: парабола y = 0.75x² с выколотой точкой (2, 3).
• Для x < 0: парабола y = -0.75x².

Определение значений m

Прямая y = m не имеет общих точек с графиком функции, когда она проходит через «выколотую» точку (2, 3) или когда m < 0 (так как y = -0.75x² всегда меньше или равна нулю, но при x = 0, y = 0, и эта точка входит в график функции).

Следовательно, прямая y = m не имеет общих точек с графиком функции, когда m = 3.

Ответ: m = 3