Постройте график функции y = {x^2+2x+3, если x >= -3, x+9, при x < -3,} и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Пошаговое решение:

1. Построение графика:
   • Для x ≥ -3, функция y = x² + 2x + 3 является параболой.
   • Выделим полный квадрат: y = (x + 1)² + 2. Вершина параболы в точке (-1; 2).
   • Для x < -3, функция y = x + 9 является прямой линией.
   • Построим прямую по двум точкам, например, x = -4, y = 5 и x = -5, y = 4.
2. Анализ графика:
   • Парабола начинается в точке (-3; (-3)² + 2(-3) + 3) = (-3; 9 - 6 + 3) = (-3; 6).
   • Прямая y = x + 9 при x = -3 дает y = -3 + 9 = 6.
   • Таким образом, обе части функции «сшиваются» в точке (-3; 6).
3. Определение значений m:
   • Прямая y = m будет иметь две общие точки с графиком, если она проходит через вершину параболы или касается прямой y = x + 9.
   • Вершина параболы имеет координату y = 2, то есть m = 2.
   • В точке стыка графиков y = 6, но так как функция непрерывна, касания в этой точке нет.

Ответ: m = 2