22. Постройте график функции \(y = \begin{cases} -x^2 - 2x + 1, & x \le 2, \\ \frac{14}{x}, & x > 2 \end{cases}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ребята, это интересная задача. Разберем её по шагам.

1. **Анализ функции:**
Функция состоит из двух частей:
- Для \(x \le 2\): \(y = -x^2 - 2x + 1\) - это парабола, ветви которой направлены вниз.
- Для \(x > 2\): \(y = \frac{14}{x}\) - это гипербола.

2. **Анализ параболы:**
Чтобы построить параболу, найдем вершину и значение функции при (x = 2).
- Вершина параболы: (x_v = \(\frac{-b}{2a}\) = \(\frac{-(-2)}{2(-1)}\) = -1). (y_v = -(-1)^2 - 2(-1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2).
- Вершина параболы находится в точке ((-1, 2)).
- При (x = 2): (y = -(2)^2 - 2(2) + 1 = -4 - 4 + 1 = -7).

3. **Анализ гиперболы:**
Чтобы построить гиперболу, рассмотрим поведение функции при (x > 2).
- При (x = 2): \(y = \frac{14}{2} = 7\).
- При \(x \to \infty\): \(y \to 0\).

4. **Построение графика:**
Теперь мы можем построить график функции. Парабола определена для \(x \le 2\), а гипербола - для (x > 2).

```html











```


5. **Анализ прямой (y = m):**
Прямая (y = m) - это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения (m), чтобы эта прямая пересекала график функции ровно в двух точках.

- Если (m > 7), прямая пересекает только параболу в двух точках.
- Если (m = 7), прямая пересекает параболу в двух точках и приближается к гиперболе.
- Если (-7 < m < 2 ), прямая пересекает график в двух точках: параболу в двух точках.
- Если (m=2\), прямая касается параболы и пересекает гиперболу.
- Если (m < -7\), прямая не пересекает график.
- Если (m = -7), прямая пересекает график в одной точке.


6. **Вывод:**
Прямая (y = m) имеет ровно две общие точки с графиком функции при:
- (-7 < m < 2\)
- ( m > 7 )

**Ответ:** Прямая (y = m) имеет с графиком функции ровно две общие точки при (m \(\in\) (-7; 2) \(\cup\) \(7; +\infty\)).