Постройте график функции $$y = \frac{(x^2 + 1)(x-2)}{2-x}$$. Определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Начнем с упрощения выражения для функции:

$$y = \frac{(x^2 + 1)(x-2)}{2-x} = \frac{(x^2 + 1)(x-2)}{-(x-2)}$$

При $$x
eq 2$$ можно сократить $$(x-2)$$:

$$y = -(x^2 + 1) = -x^2 - 1$$

Таким образом, график функции $$y = -x^2 - 1$$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $$(0, -1)$$. Однако, нужно помнить, что при $$x = 2$$ функция не определена, то есть в точке $$x = 2$$ на параболе будет «выколотая» точка. Найдем значение $$y$$ в этой точке:

$$y(2) = -2^2 - 1 = -4 - 1 = -5$$

Итак, график функции $$y = -x^2 - 1$$ с выколотой точкой $$(2, -5)$$.

Теперь рассмотрим прямую $$y = kx$$. Наша задача - найти такие значения $$k$$, при которых эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Прямая проходит через выколотую точку:

Если прямая $$y = kx$$ проходит через точку $$(2, -5)$$, то выполнятся равенство:

$$-5 = k \cdot 2$$ $$k = -\frac{5}{2} = -2.5$$

При $$k = -2.5$$ прямая $$y = -2.5x$$ проходит через выколотую точку $$(2, -5)$$ и, следовательно, имеет с графиком только одну общую точку (выколотую).

2. Прямая касается параболы:

Найдем точки пересечения прямой $$y = kx$$ и параболы $$y = -x^2 - 1$$. Для этого приравняем их уравнения:

$$kx = -x^2 - 1$$ $$x^2 + kx + 1 = 0$$

Чтобы прямая касалась параболы, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:

$$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^2 - 4 = 0$$ $$k^2 = 4$$ $$k = \pm 2$$

Таким образом, при $$k = 2$$ и $$k = -2$$ прямая $$y = kx$$ касается параболы в одной точке. Однако, нам нужно проверить, не попадает ли точка касания в выколотую точку $$(2, -5)$$ при этих значениях $$k$$.

При $$k = 2$$ уравнение $$x^2 + 2x + 1 = 0$$ имеет решение $$x = -1$$. Это не равно 2, поэтому $$k = 2$$ подходит.

При $$k = -2$$ уравнение $$x^2 - 2x + 1 = 0$$ имеет решение $$x = 1$$. Это не равно 2, поэтому $$k = -2$$ подходит.

Ответ: Прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $$k = -2.5$$, $$k = 2$$ и $$k = -2$$.