Постройте график функции у=х2-4х-|х| и определите, при каких значениях m прямая ум имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Рассмотрим функцию $$y=x^2-4x-|x|$$.

Если $$x \geq 0$$, то $$|x|=x$$, и функция принимает вид: $$y=x^2-4x-x=x^2-5x$$.

Если $$x < 0$$, то $$|x|=-x$$, и функция принимает вид: $$y=x^2-4x-(-x)=x^2-3x$$.

Таким образом, функция задана кусочно:

$$y = \begin{cases} x^2-5x, \quad x \geq 0 \\ x^2-3x, \quad x < 0 \end{cases}$$

Построим график данной функции.

Рассмотрим параболу $$y=x^2-5x$$ при $$x \geq 0$$.

Найдем вершину параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-5)}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$$, $$y_v = (2.5)^2 - 5 \cdot 2.5 = 6.25 - 12.5 = -6.25$$.

Координаты вершины: (2.5; -6.25).

Найдем нули функции: $$x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 5$$.

Рассмотрим параболу $$y=x^2-3x$$ при $$x < 0$$.

Найдем вершину параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-3)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5$$, но так как $$x < 0$$, то эта вершина не входит в рассматриваемую часть параболы.

Найдем нули функции: $$x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 3$$.

Для $$x < 0$$:

Найдем нули функции: $$x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 3$$.

Построим график параболы

      |
      |      /\
      |     /  \
      |    /    \
------|---/------\
      |/         \
      |           \
      |          /\
      |         /  \
      |        /    \

Теперь определим, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

• $$y = -6.25$$ - прямая имеет одну общую точку.
• $$y = 0$$ - прямая имеет две общие точки.

Прямая будет иметь 3 общие точки при значениях $$ y \in (-6.25; 0)$$.

Ответ: $$ m \in [-6.25; 0]$$