8. Постройте график функции у = (x²+2,25)(x-1)/(1-x) и определите, при каких значениях к прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для построения графика функции y = (x²+2,25)(x-1)/(1-x) и определения значений k, при которых прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку, необходимо упростить функцию и проанализировать её поведение.

Упрощение функции:

$$y = \frac{(x^2 + 2.25)(x - 1)}{1 - x}$$

Заметим, что (x - 1) = -(1 - x), тогда:

$$y = \frac{(x^2 + 2.25)(x - 1)}{-(x - 1)}$$

При x ≠ 1:

$$y = -(x^2 + 2.25)$$ $$y = -x^2 - 2.25$$

График функции - парабола, ветви которой направлены вниз, вершина находится в точке (0, -2.25). Важно отметить, что x ≠ 1, то есть в точке x = 1 на графике будет разрыв (выколотая точка).

Прямая y = kx проходит через начало координат (0,0). Для определения значений k, при которых прямая имеет с графиком ровно одну общую точку, рассмотрим уравнение:

$$kx = -x^2 - 2.25$$

Преобразуем уравнение:

$$x^2 + kx + 2.25 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно x. Для того, чтобы прямая имела с параболой одну общую точку, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю:

$$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2.25 = 0$$ $$k^2 - 9 = 0$$ $$k^2 = 9$$ $$k = \pm 3$$

Таким образом, прямая y = kx имеет с графиком функции одну общую точку при k = 3 и k = -3. Однако, нужно также учитывать, что x ≠ 1, то есть прямая y = kx не должна проходить через точку (1, -3.25). Если y = kx проходит через точку (1, -3.25), то k = -3.25. Это означает, что k ≠ -3.25.

Если прямая y = kx проходит через точку (1, -3.25), то k = -3.25.

Однако, поскольку x ≠ 1, нам нужно проверить, не проходит ли одна из прямых y = 3x или y = -3x через выколотую точку (1, -3.25) на графике y = -x² - 2.25.

При x = 1, для y = 3x -> y = 3; для y = -3x -> y = -3.

Оба значения y (3 и -3) не равны -3.25, поэтому прямые y = 3x и y = -3x не проходят через выколотую точку.

Но, прямая y = -3x имеет общую точку с параболой y = -x² - 2.25 в точке (1.5, -4.5), а также прямая y = 3x имеет общую точку с параболой y = -x² - 2.25 в точке (-1.5, -4.5).

Кроме того, надо рассмотреть случай, когда прямая проходит через точку (1, -3.25):

$$k = -3.25$$

Для этого рассмотрим уравнение:

$$-3.25x = -x^2 - 2.25$$ $$x^2 - 3.25x + 2.25 = 0$$ $$D = (-3.25)^2 - 4*2.25 = 10.5625 - 9 = 1.5625$$

Поскольку D > 0, то это уравнение имеет 2 решения, а значит, прямая имеет две общие точки с параболой.

График функции:

          ^
          |
          |        *   *   *   *    
          |     *                    *   
          |   *                        *  
----------+----------------------------->
          | *                          *
          |   *                        *
          |     *                    *
          |        *   *   *   * 
          |         |
          |        -2.25
          |
          V

Ответ: k = 3 и k = -3