Постройте график функции у = х²-3|х|-х и определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком не менее двух, но не более трёх общих точек.

Рассмотрим функцию $$y = x^2 - 3|x| - x$$.

1) При $$x \geq 0$$, $$|x| = x$$, тогда $$y = x^2 - 3x - x = x^2 - 4x$$. Это парабола с вершиной в точке $$x_v = \frac{-(-4)}{2} = 2$$, $$y_v = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$$. То есть вершина параболы в точке (2; -4).

2) При $$x < 0$$, $$|x| = -x$$, тогда $$y = x^2 - 3(-x) - x = x^2 + 3x - x = x^2 + 2x$$. Это парабола с вершиной в точке $$x_v = \frac{-2}{2} = -1$$, $$y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$$. То есть вершина параболы в точке (-1; -1).

График функции состоит из двух частей парабол.

Теперь рассмотрим прямую $$y = m$$. Нам нужно найти такие значения m, при которых прямая $$y = m$$ имеет с графиком не менее двух, но не более трёх общих точек.

Начертим схематически график функции:

      |
      |
   (-1,-1)  *--------
      |       \
      |        \
------+--------*------
      |       / (2,-4)
      |      /
      |

1) Прямая $$y = -1$$ имеет с графиком две общие точки (касание в точке (-1, -1) и пересечение с правой параболой).

2) Прямая $$y = -4$$ имеет с графиком одну общую точку (касание в точке (2, -4)).

3) Прямая $$y = m$$, где $$-4 < m < -1$$, имеет с графиком четыре общие точки.

4) Прямая $$y = 0$$ имеет с графиком три общие точки: (0, 0), (-2, 0) и (4, 0).

5) Прямая $$y = m$$, где $$m > 0$$, имеет с графиком две общие точки.

Значит, чтобы прямая $$y=m$$ имела с графиком не менее двух, но не более трёх общих точек, необходимо, чтобы $$m = 0$$ или $$m = -1$$.

Ответ: m = 0, m = -1