22. Постройте график функции у = |x|.(x+2)-3х. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Пошаговое решение:

Для начала разберемся с функцией, раскрыв модуль:

• Если x ≥ 0, то |x| = x, и функция примет вид: y = x(x + 2) - 3x = x² + 2x - 3x = x² - x
• Если x < 0, то |x| = -x, и функция примет вид: y = -x(x + 2) - 3x = -x² - 2x - 3x = -x² - 5x

Таким образом, имеем кусочно-заданную функцию:

\[ y = \begin{cases} x^2 - x, & x \ge 0 \\ -x^2 - 5x, & x < 0 \end{cases} \]

Исследуем каждую часть функции:

• Для x ≥ 0: y = x² - x — это парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы:

\[ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{1}{2} \] \[ y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \]

• Для x < 0: y = -x² - 5x — это парабола, ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы:

\[ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-5}{-2} = -\frac{5}{2} \] \[ y_v = -(-\frac{5}{2})^2 - 5(-\frac{5}{2}) = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} = \frac{25}{4} \]

Теперь построим график функции:

Прямая y = m — это горизонтальная прямая. Чтобы она имела с графиком ровно две общие точки, она должна проходить:

• Через вершину одной из парабол.
• Касаться одной из парабол или пересекать в двух точках, а другую не пересекать вовсе.

Рассмотрим возможные случаи:

• Прямая проходит через вершину первой параболы (x ≥ 0): y = -1/4
• Прямая проходит через вершину второй параболы (x < 0): y = 25/4
• Прямая y = 0 (проходит через точку (0,0) обеих парабол)

Таким образом, прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при следующих значениях m:

• m = -1/4
• m = 0
• m = 25/4

Ответ: m = -0.25; 0; 6.25