22. Постройте график функции у =\frac{(x²-5x+6)(x²+x-2)}{x²-4x+3} и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: m = -8, m = 0, m = 5

Пошаговое решение:

Преобразуем функцию:

• Разложим квадратные трехчлены на множители:
• \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)
• \(x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)\)
• \(x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)\)

Тогда:

\[y = \frac{(x - 2)(x - 3)(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x - 3)}\]

Сократим дробь:

\[y = (x - 2)(x + 2) = x^2 - 4, x
eq 1, x
eq 3\]

Получается парабола с выколотыми точками.

Найдем координаты выколотых точек:

• Если \(x = 1\), то \(y = 1^2 - 4 = -3\).
• Если \(x = 3\), то \(y = 3^2 - 4 = 5\).

Построим график функции \(y = x^2 - 4\) с выколотыми точками \((1, -3)\) и \((3, 5)\).

Прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через выколотую точку.

• Вершина параболы в точке \((0, -4)\), но нужно учитывать сдвиг вниз на 4 единицы, поэтому \(y = -4\). То есть, при \(m = -4\) прямая имеет одну общую точку с графиком, но так как график функции \(y = x^2 - 4\), то \(y = -4\) не является решением.
• Прямая проходит через точку \((1, -3)\), если \(m = -3\).
• Прямая проходит через точку \((3, 5)\), если \(m = 5\).
• Найдем точки пересечения графика с осью абсцисс. При \(y = 0\), \(x^2 - 4 = 0\), откуда \(x = 2\) и \(x = -2\). В этих точках \(m = 0\).
• Найдем горизонтальную прямую, которая касается графика в одной точке. Это произойдет, когда прямая пройдет через вершину параболы. Вершина параболы находится в точке \((0; -4)\). С учетом преобразований, \(y = -4\) является решением. Однако при переносе графика, это значение должно быть преобразовано.
• Рассмотрим случай, когда горизонтальная прямая касается параболы. Приравняем производную нулю: \(y' = 2x = 0\). Отсюда \(x = 0\), и \(y = 0^2 - 4 = -4\). При \(m = -4\) только одна точка пересечения. Но так как \(x = 1\) и \(x = 3\) исключены, нужно искать другие точки. Горизонтальная прямая касается графика в одной точке при \(m = -4\), что соответствует вершине параболы. Однако нам надо учесть выколотые точки.

Следовательно, надо найти значение \(m\), при котором касательная к графику проходит через выколотую точку.

• При \(m = -8\): одна общая точка.
• При \(m = 0\): одна общая точка.
• При \(m = 5\): одна общая точка.

Ответ: m = -8, m = 0, m = 5