Постройте график функции y = (\frac{(\sqrt{x^2-5x+6})^2}{x-3}) и найдите все значения a, при которых прямая y = a не имеет с графиком данной функции общих точек.

Ответ: [-1; 0] ∪ {3}

Пошаговое решение

1. Шаг 1: Упрощение функции и определение области определения

   Исходная функция: y = \(\frac{(\sqrt{x^2-5x+6})^2}{x-3}\)

   Условие существования квадратного корня: x² - 5x + 6 ≥ 0

   Разложим квадратный трехчлен на множители: (x - 2)(x - 3) ≥ 0

   Решим неравенство методом интервалов:

         +       -       +
     ----[2]----[3]---->
     

   Решением неравенства являются интервалы: x ≤ 2 и x ≥ 3

   Также необходимо учесть, что знаменатель не должен быть равен нулю: x ≠ 3

   Учитывая ограничения, получаем: y = \(\frac{x^2-5x+6}{x-3}\) = \(\frac{(x-2)(x-3)}{x-3}\)

   При x ≠ 3, y = x - 2

   Область определения функции: x ≤ 2 и x > 3

2. Шаг 2: Анализ функции и построение графика

   Функция y = x - 2 является линейной функцией, графиком которой является прямая.

   Определим точки для построения графика:

   • При x = 2, y = 2 - 2 = 0. Точка (2; 0)
   • При x = 4, y = 4 - 2 = 2. Точка (4; 2)

   Функция не определена в точке x = 3, где происходит разрыв графика. В этой точке y = 3 - 2 = 1. Следовательно, на графике есть "выколотая" точка (3; 1).

3. Шаг 3: Определение значений параметра a

   Прямая y = a является горизонтальной прямой.

   Она не будет иметь общих точек с графиком функции в следующих случаях:

   • a находится в диапазоне от -1 (включительно) до 0 (включительно), так как при x ≤ 2 график функции представляет собой отрезок прямой, идущий до точки (2; 0).

   • a = 1, так как в точке x = 3 функция имеет разрыв, и значение y = 1 не принадлежит графику.

   Таким образом, a ∈ [-1; 0] ∪ {1}

Ответ: [-1; 0] ∪ {1}