6. Постройте график функции y=\frac{5x-8}{5x^2-8x}. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Область определения функции:

\[5x^2 - 8x
eq 0\]

\[x(5x - 8)
eq 0\]

\[x
eq 0, \quad x
eq \frac{8}{5}\]

Область определения: \((-\infty; 0) \cup (0; \frac{8}{5}) \cup (\frac{8}{5}; +\infty)\)

2. Упрощение выражения:

\[y = \frac{5x - 8}{5x^2 - 8x} = \frac{5x - 8}{x(5x - 8)}\]

При \(x
eq \frac{8}{5}\):

\[y = \frac{1}{x}\]

3. График функции:

График функции \(y = \frac{1}{x}\) — гипербола, но с выколотой точкой при \(x = \frac{8}{5}\). Найдем соответствующее значение y:

\[y = \frac{1}{\frac{8}{5}} = \frac{5}{8}\]

Итак, выколотая точка — \((\frac{8}{5}; \frac{5}{8})\)

4. Анализ прямой \(y = kx\):

Прямая \(y = kx\) проходит через начало координат. Чтобы она имела с графиком ровно одну общую точку, возможны следующие случаи:

• Прямая проходит через выколотую точку.
• Прямая касается гиперболы в одной точке.

5. Прямая проходит через выколотую точку:

\[\frac{5}{8} = k \cdot \frac{8}{5}\]

\[k = \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{64}\]

6. Прямая касается гиперболы:

Приравниваем \(kx = \frac{1}{x}\):

\[kx^2 = 1\]

\[kx^2 - 1 = 0\]

Чтобы было одно решение, дискриминант должен быть равен нулю. Но у нас и так уравнение имеет один корень, если \(k
eq 0\). Если \(k = 0\), то \(0 = 1\), что неверно, значит, всегда есть два решения, кроме случая, когда прямая проходит через выколотую точку.

7. Особый случай: k = 0

Прямая \(y = 0\) (ось x) пересекает гиперболу \(y = \frac{1}{x}\) в бесконечности, то есть не имеет общих точек.

8. Исключаем случай, когда прямая совпадает с осью y:

Прямая \(x = 0\) не является графиком функции вида \(y = kx\)

9. Ответ:

Прямая \(y = kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку при \(k = \frac{25}{64}\)

Ответ: \(k = \frac{25}{64}\)

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что найденное значение k соответствует случаю, когда прямая проходит через выколотую точку на графике функции.

Доп. профит: Запомни: При анализе графиков с выколотыми точками всегда проверяй, не проходит ли прямая через эти точки, так как это может быть одним из решений.