16. Постройте график функции y=\frac{5|x|-1}{|x|-5x^2}. Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком ни одной общей точки.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Анализ функции с модулем
  Рассмотрим функцию y=\frac{5|x|-1}{|x|-5x^2}. Нужно рассмотреть два случая: x ≥ 0 и x < 0.
• Шаг 2: Случай x ≥ 0
  Если x ≥ 0, то |x| = x. Тогда функция примет вид:
  \[ y = \frac{5x-1}{x-5x^2} = \frac{5x-1}{x(1-5x)} \]
• Шаг 3: Случай x < 0
  Если x < 0, то |x| = -x. Тогда функция примет вид:
  \[ y = \frac{-5x-1}{-x-5x^2} = \frac{-(5x+1)}{-x(1+5x)} = \frac{5x+1}{x(1+5x)} \]
• Шаг 4: Упрощение и исключение точек
  Заметим, что при x = 0 функция не определена. Также необходимо исключить точки, в которых знаменатель равен нулю:
  Для x ≥ 0: x(1-5x) = 0 => x = 0 или x = \frac{1}{5}
  Для x < 0: x(1+5x) = 0 => x = 0 или x = -\frac{1}{5}
  Таким образом, x ≠ 0, x ≠ \frac{1}{5} и x ≠ -\frac{1}{5}.
• Шаг 5: Анализ поведения функции при x → 0
  Исследуем поведение функции вблизи точки x = 0. При x → 0, y → ∞, следовательно, x = 0 - вертикальная асимптота.
• Шаг 6: График функции
  Функция представляет собой гиперболу с вертикальными асимптотами в точках x = 0, x = \frac{1}{5} и x = -\frac{1}{5}. Также есть наклонные асимптоты.
• Шаг 7: Анализ прямой y = kx
  Прямая y = kx проходит через начало координат. Чтобы найти значения k, при которых прямая не пересекает график функции, необходимо рассмотреть случаи касания и прохождения через "дырки" (исключенные точки).
• Шаг 8: Условие отсутствия пересечений
  Прямая y = kx не будет пересекать график функции, если она проходит через исключенные точки или касается графика.
• Шаг 9: Прохождение через исключенные точки
  Для x = \frac{1}{5}: y = \frac{5(\frac{1}{5})-1}{\frac{1}{5}(1-5(\frac{1}{5}))} = \frac{0}{0} - неопределенность. Однако, можно рассмотреть предел при x → \frac{1}{5}. lim (x→ \frac{1}{5}) \frac{5x-1}{x(1-5x)} = \frac{5}{2} (просто рассмотреть предел не достаточно, нужно рассмотреть поведение y=kx в этой точке. Так как x=\frac{1}{5} , y=k*\frac{1}{5} => k = 5)
  Для x = -\frac{1}{5}: y = \frac{5(-\frac{1}{5})+1}{(-\frac{1}{5})(1+5(-\frac{1}{5}))} = \frac{0}{0} - неопределенность. Однако, можно рассмотреть предел при x → -\frac{1}{5}. lim (x→ -\frac{1}{5}) \frac{5x+1}{x(1+5x)} = -5

Ответ: Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком функции при k = 5.