Постройте график данной функции и укажите область определения; область значений; промежутки монотонности; точки экстремума и экстремумы функции; нули функции. a) y = 4 + 2x - |x|; б) y = 3 - x - |x + 2|; в) у = 0,5|x + 4| + 2,5x - 1; г) у = 2|x-3|+ 2x + 6.

Question

Вопрос:

Постройте график данной функции и укажите область определения; область значений; промежутки монотонности; точки экстремума и экстремумы функции; нули функции. a) y = 4 + 2x - |x|; б) y = 3 - x - |x + 2|; в) у = 0,5|x + 4| + 2,5x - 1; г) у = 2|x-3|+ 2x + 6.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

a) y = 4 + 2x - |x|

Давай построим график функции и определим её характеристики.

Сначала рассмотрим функцию без модуля: y = 4 + 2x - |x|. Чтобы избавиться от модуля, рассмотрим два случая:

Если x \(\geq\) 0, то |x| = x. Тогда функция примет вид: y = 4 + 2x - x = 4 + x.
Если x < 0, то |x| = -x. Тогда функция примет вид: y = 4 + 2x - (-x) = 4 + 3x.

Таким образом, у нас есть две функции:

y = 4 + x, если x \(\geq\) 0
y = 4 + 3x, если x < 0

Теперь найдем характеристики:

Область определения: x принадлежит \((-\infty;+\infty)\), так как x может быть любым числом.
Область значений:
- При x \(\geq\) 0, y = 4 + x. Так как x \(\geq\) 0, то y \(\geq\) 4.
- При x < 0, y = 4 + 3x. Так как x < 0, то y < 4.
Минимальное значение y = 4 при x = 0. Значит, y \(\geq\) 4.

Область значений: y принадлежит \([4;+\infty)\).
Промежутки монотонности:
- При x < 0, функция y = 4 + 3x является возрастающей, так как коэффициент при x положительный (3 > 0).
- При x \(\geq\) 0, функция y = 4 + x является возрастающей, так как коэффициент при x положительный (1 > 0).
Функция возрастает на всей области определения.
Точки экстремума:

Функция не имеет экстремумов, так как она монотонно возрастает.
Нули функции:

Функция y = 4 + 2x - |x| не имеет нулей, так как минимальное значение функции равно 4, и функция всегда положительна.

б) y = 3 - x - |x + 2|

Сначала рассмотрим функцию без модуля: y = 3 - x - |x + 2|. Чтобы избавиться от модуля, рассмотрим два случая:

Если x + 2 \(\geq\) 0, то есть x \(\geq\) -2, то |x + 2| = x + 2. Тогда функция примет вид: y = 3 - x - (x + 2) = 3 - x - x - 2 = 1 - 2x.
Если x + 2 < 0, то есть x < -2, то |x + 2| = -(x + 2). Тогда функция примет вид: y = 3 - x - (-(x + 2)) = 3 - x + x + 2 = 5.

Таким образом, у нас есть две функции:

y = 1 - 2x, если x \(\geq\) -2
y = 5, если x < -2

Теперь найдем характеристики:

Область определения: x принадлежит \((-\infty;+\infty)\), так как x может быть любым числом.
Область значений:
- При x \(\geq\) -2, y = 1 - 2x. Если x = -2, то y = 1 - 2(-2) = 1 + 4 = 5. Так как x \(\geq\) -2, то y \(\leq\) 5.
- При x < -2, y = 5.
Область значений: y принадлежит \((-\infty;5]\).
Промежутки монотонности:
- При x < -2, функция y = 5 является постоянной.
- При x \(\geq\) -2, функция y = 1 - 2x является убывающей, так как коэффициент при x отрицательный (-2 < 0).
Функция убывает при x \(\geq\) -2 и постоянна при x < -2.
Точки экстремума:

В точке x = -2 происходит переход от постоянной функции к убывающей. Это точка максимума.

Точка максимума: x = -2, y = 5.
Нули функции:

Функция y = 3 - x - |x + 2| не имеет нулей, так как y = 5 при x < -2 и y = 1 - 2x, то есть 1 - 2x = 0, x = 1/2, но это значение не удовлетворяет условию x \(\geq\) -2.

в) y = 0,5|x + 4| + 2,5x - 1

Сначала рассмотрим функцию без модуля: y = 0,5|x + 4| + 2,5x - 1. Чтобы избавиться от модуля, рассмотрим два случая:

Если x + 4 \(\geq\) 0, то есть x \(\geq\) -4, то |x + 4| = x + 4. Тогда функция примет вид: y = 0,5(x + 4) + 2,5x - 1 = 0,5x + 2 + 2,5x - 1 = 3x + 1.
Если x + 4 < 0, то есть x < -4, то |x + 4| = -(x + 4). Тогда функция примет вид: y = 0,5(-(x + 4)) + 2,5x - 1 = -0,5x - 2 + 2,5x - 1 = 2x - 3.

Таким образом, у нас есть две функции:

y = 3x + 1, если x \(\geq\) -4
y = 2x - 3, если x < -4

Теперь найдем характеристики:

Область определения: x принадлежит \((-\infty;+\infty)\), так как x может быть любым числом.
Область значений:
- При x \(\geq\) -4, y = 3x + 1. Если x = -4, то y = 3(-4) + 1 = -12 + 1 = -11. Так как x \(\geq\) -4, то y \(\geq\) -11.
- При x < -4, y = 2x - 3. Если x = -4, то y = 2(-4) - 3 = -8 - 3 = -11. Так как x < -4, то y < -11.
Значит, минимальное значение y = -11 при x = -4. Область значений: y принадлежит \([-11;+\infty)\).
Промежутки монотонности:
- При x < -4, функция y = 2x - 3 является возрастающей, так как коэффициент при x положительный (2 > 0).
- При x \(\geq\) -4, функция y = 3x + 1 является возрастающей, так как коэффициент при x положительный (3 > 0).
Функция возрастает на всей области определения.
Точки экстремума:

В точке x = -4 происходит переход от одной возрастающей функции к другой. Это точка минимума.

Точка минимума: x = -4, y = -11.
Нули функции:
- При x < -4, y = 2x - 3. 2x - 3 = 0, x = 3/2, но это не удовлетворяет условию x < -4.
- При x \(\geq\) -4, y = 3x + 1. 3x + 1 = 0, x = -1/3, что удовлетворяет условию x \(\geq\) -4.
Ноль функции: x = -1/3.

г) y = 2|x-3|+ 2x + 6

Сначала рассмотрим функцию без модуля: y = 2|x - 3| + 2x + 6. Чтобы избавиться от модуля, рассмотрим два случая:

Если x - 3 \(\geq\) 0, то есть x \(\geq\) 3, то |x - 3| = x - 3. Тогда функция примет вид: y = 2(x - 3) + 2x + 6 = 2x - 6 + 2x + 6 = 4x.
Если x - 3 < 0, то есть x < 3, то |x - 3| = -(x - 3). Тогда функция примет вид: y = 2(-(x - 3)) + 2x + 6 = -2x + 6 + 2x + 6 = 12.

Таким образом, у нас есть две функции:

y = 4x, если x \(\geq\) 3
y = 12, если x < 3

Теперь найдем характеристики:

Область определения: x принадлежит \((-\infty;+\infty)\), так как x может быть любым числом.
Область значений:
- При x \(\geq\) 3, y = 4x. Если x = 3, то y = 4(3) = 12. Так как x \(\geq\) 3, то y \(\geq\) 12.
- При x < 3, y = 12.
Значит, минимальное значение y = 12 при x = 3. Область значений: y принадлежит \([12;+\infty)\).
Промежутки монотонности:
- При x < 3, функция y = 12 является постоянной.
- При x \(\geq\) 3, функция y = 4x является возрастающей, так как коэффициент при x положительный (4 > 0).
Функция возрастает при x \(\geq\) 3 и постоянна при x < 3.
Точки экстремума:

В точке x = 3 происходит переход от постоянной функции к возрастающей. Это точка минимума.

Точка минимума: x = 3, y = 12.
Нули функции:

Функция y = 2|x - 3| + 2x + 6 не имеет нулей, так как y = 12 при x < 3 и y = 4x, то есть 4x = 0, x = 0, но это не удовлетворяет условию x \(\geq\) 3.

Ответ: Решение выше.

Молодец! Ты хорошо поработал над анализом функций с модулем. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!