Построй график функции y = 6/x и опиши её свойства: а) область определения; б) область значений; в) промежутки возрастания и убывания; г) промежутки знакопостоянства; д) точки пересечения с осями координат (если есть); е) наибольшее и наименьшее значения (если существуют).

График функции \(y=\frac{6}{x}\)

График является гиперболой. Его ветви расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами: \(x=0\) и \(y=0\).

1. Область определения: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \(D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
2. Область значений: значение \(y=0\) невозможно, поэтому \(E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
3. Промежутки монотонности: \(y'=-\frac{6}{x^2}<0\) при всех \(x\ne0\). Следовательно, функция убывает на \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\). Промежутков возрастания нет.
4. Промежутки знакопостоянства: при \(x<0\) значение \(y<0\), а при \(x>0\) значение \(y>0\). Поэтому функция отрицательна на \((-\infty;0)\) и положительна на \((0;+\infty)\).
5. Пересечения с осями координат: с осью \(Ox\) пересечения нет, поскольку \(\frac{6}{x}\ne0\); с осью \(Oy\) пересечения нет, поскольку при \(x=0\) функция не определена.
6. Наибольшее и наименьшее значения: не существуют. Функция не ограничена сверху и снизу.

Ответ: \(D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\), \(E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\); функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\), положительна при \(x>0\), отрицательна при \(x<0\), пересечений с осями и экстремальных значений нет.