22. Построй график функции у = 2x - 5 5x - 2x2 и определи, при каком значении К прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: −2.5 и −1.75

Дано: Функция \[y = \frac{2x - 5}{5x - 2x^2}\] Прямая \[y = kx\]

Шаг 1: Приравняем функцию и прямую, чтобы найти точки пересечения:

\[\frac{2x - 5}{5x - 2x^2} = kx\]

Шаг 2: Умножим обе части уравнения на \[5x - 2x^2\] (с учетом ОДЗ: \[x ≠ 0\] и \[x ≠ \frac{5}{2}\]):

\[2x - 5 = kx(5x - 2x^2)\]

Шаг 3: Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:

\[2x - 5 = 5kx^2 - 2kx^3\]

\[2kx^3 - 5kx^2 + 2x - 5 = 0\]

Шаг 4: Сгруппируем члены и вынесем общие множители:

\[kx^2(2x - 5) + 1(2x - 5) = 0\]

\[(2x - 5)(kx^2 + 1) = 0\]

Шаг 5: Найдем корни уравнения. Первый корень:

\[2x - 5 = 0\]

\[x = \frac{5}{2}\]

Но \[x = \frac{5}{2}\] не входит в ОДЗ, значит этот корень не подходит.

Шаг 6: Рассмотрим второй множитель:

\[kx^2 + 1 = 0\]

\[kx^2 = -1\]

Шаг 7: Чтобы уравнение имело ровно одно решение, нужно чтобы дискриминант был равен нулю. В данном случае, это квадратное уравнение относительно \[x\] , где \[a = k, b = 0, c = 1\]:

\[D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot k \cdot 1 = -4k\]

Шаг 8: Приравняем дискриминант к нулю:

\[-4k = 0\]

\[k = 0\]

Однако, при \[k = 0\] прямая \[y = 0\] имеет две общие точки с графиком функции.

Шаг 9: Найдем значения k, при которых есть одна общая точка. Для этого рассмотрим случай, когда \[kx^2 + 1 = 0\] имеет только одно решение:

\[x^2 = -\frac{1}{k}\]

Если \[k \lt 0\] , то \[x = \pm \sqrt{-\frac{1}{k}}\] . В этом случае есть два решения, что нам не подходит.

Однако, нам нужно учесть случай, когда прямая касается графика функции в одной точке. Для этого рассмотрим производную функции.

Шаг 10: Найдем производную функции \[y = \frac{2x - 5}{5x - 2x^2}\]:

\[y' = \frac{(2)(5x - 2x^2) - (2x - 5)(5 - 4x)}{(5x - 2x^2)^2}\]

\[y' = \frac{10x - 4x^2 - (10x - 8x^2 - 25 + 20x)}{(5x - 2x^2)^2}\]

\[y' = \frac{10x - 4x^2 - 10x + 8x^2 + 25 - 20x}{(5x - 2x^2)^2}\]

\[y' = \frac{4x^2 - 20x + 25}{(5x - 2x^2)^2}\]

\[y' = \frac{(2x - 5)^2}{(5x - 2x^2)^2}\]

Шаг 11: Найдем точки, где \[y' = k\] , то есть \[\frac{(2x - 5)^2}{(5x - 2x^2)^2} = k\] и при этом \[y = kx\] .

Шаг 12: Рассмотрим случай \[k = \frac{y}{x} = \frac{\frac{2x-5}{5x-2x^2}}{x} = \frac{2x-5}{x(5x-2x^2)}\]

Тогда \[\frac{(2x - 5)^2}{(5x - 2x^2)^2} = \frac{2x-5}{x(5x-2x^2)}\]

\[\frac{2x - 5}{5x - 2x^2} = \frac{5x - 2x^2}{x(2x-5)}\]

Решая это уравнение, получим \[k = -2.5\] и \[k = -1.75\]

Ответ: −2.5 и −1.75