22. Построй график функции у = −x² + 7|x| − 2 и определи, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Анализ функции

Рассмотрим функцию y = -x² + 7|x| - 2. Из-за модуля |x| функция является четной, то есть симметричной относительно оси y. Поэтому достаточно рассмотреть функцию при x ≥ 0, а затем отразить полученную часть графика симметрично относительно оси y.

• Шаг 2: Функция при x ≥ 0

При x ≥ 0, |x| = x, и функция принимает вид: y = -x² + 7x - 2.

• Шаг 3: Нахождение вершины параболы

Найдем вершину параболы y = -x² + 7x - 2. Координата x вершины параболы определяется формулой x₀ = -b / 2a, где a = -1 и b = 7.

x₀ = -7 / (2 * (-1)) = 3.5

Теперь найдем координату y вершины параболы:

y₀ = -(3.5)² + 7 * 3.5 - 2 = -12.25 + 24.5 - 2 = 10.25

Таким образом, вершина параболы находится в точке (3.5, 10.25).

• Шаг 4: Построение графика при x ≥ 0

Строим параболу y = -x² + 7x - 2 при x ≥ 0, проходящую через вершину (3.5, 10.25). Найдем точки пересечения с осью x (если они есть):

-x² + 7x - 2 = 0

Решаем квадратное уравнение: D = 7² - 4 * (-1) * (-2) = 49 - 8 = 41

x₁ = (7 - √41) / 2 ≈ 0.298

x₂ = (7 + √41) / 2 ≈ 6.702

Таким образом, парабола пересекает ось x в точках (0.298, 0) и (6.702, 0).

• Шаг 5: Построение графика при x < 0

Отражаем график функции при x ≥ 0 симметрично относительно оси y. Получаем параболу для x < 0, уравнение которой y = -x² - 7x - 2. Она будет пересекать ось x в точках (-0.298, 0) и (-6.702, 0).

• Шаг 6: Анализ точек пересечения с горизонтальной прямой

Теперь нужно определить, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс.

Горизонтальная прямая может пересекать график в различных точках в зависимости от ее положения по оси y.

Максимальное количество точек пересечения будет, когда прямая проходит ниже вершины параболы, но выше оси x.

При y = 0, горизонтальная прямая (ось x) пересекает график в четырех точках: (0.298, 0), (6.702, 0), (-0.298, 0), (-6.702, 0).

График функции:

Ответ: 4