Построить графики функций y = -x^2 и y = 2x - 1. Найти их точки пересечения.

Решение:

1. График функции \( y = -x^2 \)

Это парабола с вершиной в начале координат (0;0), ветвями, направленными вниз.

2. График функции \( y = 2x - 1 \)

Это прямая. Найдём две точки для построения:

• При \( x=0 \), \( y = 2(0) - 1 = -1 \). Точка (0; -1).
• При \( x=1 \), \( y = 2(1) - 1 = 1 \). Точка (1; 1).

3. Найдём точки пересечения.

Приравняем правые части уравнений:

\[ -x^2 = 2x - 1 \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ -x^2 - 2x + 1 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ x^2 + 2x - 1 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8 \]

Найдём значения \( x \):

\[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{2} = -1 + \sqrt{2} \]

Найдём соответствующие значения \( y \) для \( x_1 = -1 + \sqrt{2} \):

\[ y_1 = 2(-1 + \sqrt{2}) - 1 = -2 + 2\sqrt{2} - 1 = -3 + 2\sqrt{2} \]
\[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{2} = -1 - \sqrt{2} \]

Найдём соответствующие значения \( y \) для \( x_2 = -1 - \sqrt{2} \):

\[ y_2 = 2(-1 - \sqrt{2}) - 1 = -2 - 2\sqrt{2} - 1 = -3 - 2\sqrt{2} \]

График (описание): Парабола \( y = -x^2 \) имеет вершину в точке (0; 0) и направлена ветвями вниз. Прямая \( y = 2x - 1 \) пересекает ось Y в точке (0; -1) и ось X в точке (0.5; 0).

Точки пересечения: \( (-1 + \sqrt{2}; -3 + 2\sqrt{2}) \) и \( (-1 - \sqrt{2}; -3 - 2\sqrt{2}) \).

Ответ: Точки пересечения: \( (-1 + \sqrt{2}; -3 + 2\sqrt{2}) \) и \( (-1 - \sqrt{2}; -3 - 2\sqrt{2}) \).