Построить график функции \(y=x^2-|4x+1|\).

Раскроем модуль по определению:

При \(4x+1<0\), то есть при \(x<-\frac14\), получаем \(|4x+1|=-(4x+1)\), поэтому \(y=x^2+4x+1=(x+2)^2-3\).

При \(4x+1\ge 0\), то есть при \(x\ge-\frac14\), получаем \(|4x+1|=4x+1\), поэтому \(y=x^2-4x-1=(x-2)^2-5\).

Следовательно,

\[y=\begin{cases}(x+2)^2-3, & x<-\frac14,\\(x-2)^2-5, & x\ge-\frac14.\end{cases}\]

Левая часть графика — парабола с вершиной \((-2;-3)\), правая часть — парабола с вершиной \((2;-5)\). Обе части соединяются в точке \(\left(-\frac14;\frac1{16}\right)\).

Нули функции:

• для левой части: \(x=-2\pm\sqrt3\);
• для правой части: \(x=2\pm\sqrt5\).

Точки для построения:

Ответ: график состоит из двух частей парабол: \(y=(x+2)^2-3\) при \(x<-\frac14\) и \(y=(x-2)^2-5\) при \(x\ge-\frac14\).