Построить график функции y = -2x² + 4x + 6 и определить: а) значение функции при x = -2; 0; 3 б) значение аргумента, если y = -10; 6; 0 в) наибольшее значение ф-ции; г) промежутки убывания и возрастания ф-ции.

Решение:

Для начала, давайте найдем вершину параболы. Координата x вершины находится по формуле: \[ x_в = -\frac{b}{2a} \]

В нашем случае, a = -2 и b = 4.

\[ x_в = -\frac{4}{2 \times (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1 \]

Теперь найдем значение функции в вершине (это и будет наибольшее значение, так как ветви параболы направлены вниз): \[ y_в = -2(1)^2 + 4(1) + 6 = -2 + 4 + 6 = 8 \]

Вершина параболы находится в точке (1; 8).

а) Значение функции при x = -2; 0; 3

• При x = -2: \[ y = -2(-2)^2 + 4(-2) + 6 = -2(4) - 8 + 6 = -8 - 8 + 6 = -10 \]
• При x = 0: \[ y = -2(0)^2 + 4(0) + 6 = 0 + 0 + 6 = 6 \]
• При x = 3: \[ y = -2(3)^2 + 4(3) + 6 = -2(9) + 12 + 6 = -18 + 12 + 6 = 0 \]

б) Значение аргумента, если y = -10; 6; 0

• Если y = -10: \[ -10 = -2x^2 + 4x + 6 \] \[ -2x^2 + 4x + 16 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] По теореме Виета, x1 = 4, x2 = -2.
• Если y = 6: \[ 6 = -2x^2 + 4x + 6 \] \[ -2x^2 + 4x = 0 \] \[ -2x(x - 2) = 0 \] x1 = 0, x2 = 2.
• Если y = 0: \[ 0 = -2x^2 + 4x + 6 \] \[ -x^2 + 2x + 3 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] По теореме Виета, x1 = 3, x2 = -1.

в) Наибольшее значение функции

Наибольшее значение функции равно 8 (координата y вершины параболы).

г) Промежутки убывания и возрастания функции

• Функция возрастает при x < 1 (слева от вершины).
• Функция убывает при x > 1 (справа от вершины).

График функции:

Ответ:

• а) При x = -2, y = -10; при x = 0, y = 6; при x = 3, y = 0.
• б) Если y = -10, то x = -2 или x = 4; если y = 6, то x = 0 или x = 2; если y = 0, то x = -1 или x = 3.
• в) Наибольшее значение функции равно 8.
• г) Функция возрастает на промежутке (-∞; 1) и убывает на промежутке (1; +∞).