Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Последовательность \(x_n\) удовлетворяет условиям \(x_1=20\); \(x_{n+1}=x_n\times x_{n+2}\) для любого натурального \(n\).…Фото задания

Ответ:

Из рекуррентного соотношения получаем:

\[x_{n+2}=\frac{x_{n+1}}{x_n}.\]

Обозначим \(x_2=a\), где \(a\ne0\). Тогда:

  1. \(x_1=20\), \(x_2=a\);
  2. \(x_3=\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{a}{20}\);
  3. \(x_4=\dfrac{x_3}{x_2}=\dfrac{1}{20}\);
  4. \(x_5=\dfrac{x_4}{x_3}=\dfrac{1}{a}\);
  5. \(x_6=\dfrac{x_5}{x_4}=\dfrac{20}{a}\);
  6. \(x_7=\dfrac{x_6}{x_5}=20=x_1\).

Следовательно, последовательность повторяется с периодом 6. Найдём остаток:

\[2044=6\cdot340+4.\]

Значит, \(x_{2044}=x_4\).

Ответ: \(x_{2044}=\dfrac{1}{20}\).