После применения формулы интегрирования по частям к интегралу \( \int \arctan x \, dx \) (при верном выборе \( u = \arctan x, dv = dx \)) следующим шагом будет вычисление интеграла:

Решение:

При интегрировании по частям используется формула \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \).

В данном случае выбрано:

• \( u = \arctan x \)
• \( dv = dx \)

Найдем \( du \) и \( v \):

• \( du = \frac{1}{1+x^2} dx \)
• \( v = \int dv = \int dx = x \)

Подставим эти значения в формулу интегрирования по частям:

\( \int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx \)

Таким образом, следующим шагом будет вычисление интеграла \( \int \frac{x}{1+x^2} dx \).

Сравниваем полученный результат с предложенными вариантами:

• a. \( \int \frac{x}{1+x^2} dx \) — неверно.
• b. \( \int \frac{1}{1+x^2} dx \) — неверно.
• c. \( \int \frac{1}{1+x^2} dx \) — неверно.
• d. \( \int x \cdot \arctan x \, dx \) — это исходный интеграл, а не следующий шаг.

Ответ: a.