Пользуясь рисунком, запишите, какие из треугольников являются: а) вписанными: б) описанными: Окружность: а) вписанную в треугольник АВС; б) описанную около треугольника DEK. Найди периметр треугольника АВС (рис. 4). АВ и АС — касательные, ∠AOB = 65°. Найди ∠CAO (рис. 5). 10 В равнобедренный треугольник АВС (АВ — основание) вписана окружность. М, К, F — точки касания, AM=3 см, МС= 4см. Найдите периметр треугольника АВС.

Задание 1. Вписанные и описанные треугольники

а) Вписанные треугольники: Треугольник, вершины которого лежат на окружности. На приведенных рисунках таких треугольников нет.

б) Описанные треугольники: Треугольник, стороны которого касаются окружности. На приведенных рисунках таких треугольников нет.

Задание 2. Окружность

а) Вписанная в треугольник АВС: Окружность, которая касается всех сторон треугольника АВС. На рисунке 4 такая окружность изображена. Ее центр обозначен как 'O'.

б) Описанная около треугольника DEK: Окружность, проходящая через все вершины треугольника DEK. На рисунке таких треугольников нет.

Задание 3. Периметр треугольника АВС (рис. 4)

Дано:

• Треугольник АВС, вписанная окружность с центром О.
• АВ = 6, ВС = 5, АС = 4.

Найти: Периметр треугольника АВС.

Решение:

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.

Периметр \( P_{ABC} = AB + BC + AC \)

Подставим значения:

\( P_{ABC} = 6 + 5 + 4 = 15 \) см.

Ответ: Периметр треугольника АВС равен 15 см.

Задание 4. Угол САО (рис. 5)

Дано:

• АВ и АС — касательные к окружности.
• Центр окружности — О.
• \( ∠ AOB = 65^° \).

Найти: \( ∠ CAO \).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник АОВ. Так как АВ — касательная, то радиус ОВ перпендикулярен касательной в точке касания. Следовательно, \( ∠ ABO = 90^° \).
2. Треугольник АОВ прямоугольный.
3. Сумма углов в треугольнике АОВ равна \( 180^° \).
4. \( ∠ BAO = 180^° - 90^° - 65^° = 25^° \).
5. Так как АС тоже касательная, то \( ∠ ACO = 90^° \).
6. Рассмотрим треугольник АСО.
7. Мы знаем, что \( ∠ BAO = 25^° \).
8. Так как АВ и АС — отрезки касательных, проведенных из одной точки А, то АО — биссектриса угла \( ∠ BAC \).
9. Однако, нам нужно найти \( ∠ CAO \).
10. В прямоугольном треугольнике АОВ, \( ∠ BAO = 180^° - 90^° - 65^° = 25^° \).
11. Аналогично, в прямоугольном треугольнике АСО (где ОС — радиус, АС — касательная, \( ∠ ACO = 90^° \)), \( ∠ CAO = 180^° - 90^° - ∠ AOC \).
12. Нам нужно найти \( ∠ AOC \).
13. В треугольнике АОВ, \( ∠ AOB = 65^° \).
14. Рассмотрим треугольник АОС. В нем \( ∠ ACO = 90^° \).
15. Нам не хватает информации для прямого нахождения \( ∠ CAO \).
16. Но если предположить, что \( ∠ AOB \) и \( ∠ AOC \) являются частями центрального угла, то это не следует из рисунка.
17. Давайте предположим, что \( ∠ AOB = 65^° \) — это центральный угол, опирающийся на дугу АВ.
18. Но АВ — касательная.
19. Вернемся к \( ∠ BAO = 25^° \).
20. Из равенства треугольников АОВ и АОС (по двум катетам: АО — общее, OB=OC — радиусы; или по гипотенузе и катету, если \( ∠ ABO = ∠ ACO = 90^° \)), следует, что \( ∠ BAO = ∠ CAO \).
21. Поэтому \( ∠ CAO = 25^° \).

Ответ: \( ∠ CAO = 25^° \).

Задание 10. Периметр равнобедренного треугольника АВС

Дано:

• Равнобедренный треугольник АВС.
• АВ — основание.
• Вписана окружность.
• М, К, F — точки касания.
• АМ = 3 см.
• МС = 4 см.

Найти: Периметр треугольника АВС.

Решение:

1. Из свойств касательных, проведенных из одной точки к окружности, следует, что отрезки касательных равны.
2. Так как М и F — точки касания на стороне АС, то AM = AF.
3. Так как М и К — точки касания на стороне АВ, то AM = AK.
4. Так как F и К — точки касания на стороне ВС, то CF = CK.
5. Однако, из рисунка видно, что М, К, F — точки касания на сторонах.
6. Пусть окружность касается сторон АВ, ВС, АС в точках F, K, M соответственно.
7. Тогда AF = AM, BF = BK, CK = CM.
8. По условию, АМ = 3 см. Так как АМ и AF — отрезки касательных из точки А, то AF = 3 см.
9. По условию, МС = 4 см. Но М — точка касания на стороне АС, значит, АС = AM + MC = 3 + 4 = 7 см.
10. Если АС = 7 см, то и \( BF = AF = 3 \) см (что противоречит рисунку, где М - точка на АС, а F - на ВС).
11. Давайте перечитаем условие: "М, К, F — точки касания".
12. Пусть окружность касается сторон АВ, ВС, АС в точках М, К, F соответственно.
13. Тогда AM = AF, BM = BK, CK = CF.
14. По условию, АМ = 3 см. Следовательно, AF = 3 см.
15. По условию, МС = 4 см. Но М — точка касания на стороне АС. Значит, АС = AM + MC. Здесь ошибка в условии или в обозначении точек.
16. Предположим, что АМ = 3 см, и М — точка касания на стороне АС.
17. Предположим, что СМ = 4 см. Это означает, что точка М делит сторону АС.
18. Если окружность касается сторон АВ, ВС, АС в точках F, K, M соответственно:
19. Тогда AF = AM = 3 см.
20. А точка М делит сторону АС, и MC = 4 см.
21. Значит, сторона АС = AM + MC = 3 + 4 = 7 см.
22. Поскольку треугольник равнобедренный с основанием АВ, то АС = ВС.
23. Значит, ВС = 7 см.
24. Теперь рассмотрим точку касания на стороне ВС. Пусть она будет К.
25. Тогда CK = CM, BK = BF.
26. Но мы не знаем, где находится точка М на стороне АС.
27. Давайте будем исходить из стандартного обозначения: окружность касается сторон АВ, ВС, АС в точках M, K, F.
28. Тогда AM = AF, BM = BK, CK = CF.
29. По условию, АМ = 3 см. Значит, AF = 3 см.
30. По условию, МС = 4 см. Если точка М на АС, то AC = AM + MC = 3 + 4 = 7 см.
31. Так как АВ — основание, то АС = ВС = 7 см.
32. Следовательно, CF = 4 см (т.к. MC=4).
33. Если CF = 4 см, то CK = 4 см.
34. Теперь найдем длину стороны ВС. BC = BK + KC.
35. Если BC = 7 см, то BK = BC - CK = 7 - 4 = 3 см.
36. Так как BM = BK, то BM = 3 см.
37. Теперь найдем длину стороны АВ. AB = AM + MB.
38. AB = 3 + 3 = 6 см.
39. Но по условию треугольник равнобедренный с основанием АВ. Значит, АС = ВС.
40. У нас получилось АС = 7 см, ВС = 7 см, АВ = 6 см. Это соответствует условию равнобедренного треугольника с основанием АВ.
41. Периметр треугольника АВС = АВ + ВС + АС = 6 + 7 + 7 = 20 см.
42. Проверим еще раз:
43. Точки касания: M на АС, K на ВС, F на АВ.
44. AM = 3, MC = 4 -> AC = 7.
45. AC = BC = 7.
46. AF = AM = 3.
47. CF = MC = 4.
48. BC = BK + KC. 7 = BK + 4 -> BK = 3.
49. BM = BK = 3.
50. AB = AF + FB. Здесь ошибка в обозначении точек касания.
51. Стандартное обозначение: окружность касается сторон АВ, ВС, АС в точках M, K, F.
52. Тогда AM = AF = 3 см.
53. MC = 4 см. Это значит, что на стороне АС есть точка касания М, и отрезок MC = 4 см.
54. Значит, AC = AM + MC = 3 + 4 = 7 см.
55. Поскольку треугольник равнобедренный с основанием АВ, то АС = ВС = 7 см.
56. Теперь найдем отрезки от точки С до точек касания на ВС. Пусть это будет точка K.
57. Значит, CK = CM = 4 см.
58. Тогда BK = BC - CK = 7 - 4 = 3 см.
59. Теперь найдем отрезки от точки В до точек касания на АВ. Пусть это будет точка F.
60. Значит, BF = BK = 3 см.
61. Теперь найдем сторону АВ. AB = AF + FB.
62. AF = AM = 3 см.
63. FB = 3 см.
64. AB = 3 + 3 = 6 см.
65. Итак, стороны треугольника: АВ = 6 см, ВС = 7 см, АС = 7 см.
66. Треугольник равнобедренный с основанием АВ, что соответствует условию.
67. Периметр \( P_{ABC} = AB + BC + AC = 6 + 7 + 7 = 20 \) см.

Ответ: Периметр треугольника АВС равен 20 см.