468. Положив в банк некоторую сумму денег, вкладчик мог полу- через год на 400 р. больше. Оставив эти деньги в банке a год, он снял со своего счёта всю сумму, которая соста- 5832 р. Какая сумма денег была положена в банк и лько процентов годовых начислял банк?

Конечно, разберемся с этой задачей! Пусть \(S\) - первоначальная сумма денег, положенная в банк, а \(p\) - годовой процент начисления в виде десятичной дроби (например, если процент 10\%, то \(p = 0.1\)). После первого года вкладчик мог получить на 400 рублей больше, то есть проценты за год составили 400 рублей. Это можно записать как: \[S \cdot p = 400\] Через два года вкладчик снял со счёта всю сумму, которая составила 5832 рубля. Это означает, что на сумму \(S + 400\) были начислены проценты ещё раз, и итоговая сумма составила 5832 рубля. Это можно записать как: \[(S + 400)(1 + p) = 5832\] Теперь у нас есть система уравнений: \[\begin{cases} S \cdot p = 400 \\ (S + 400)(1 + p) = 5832 \end{cases}\] Из первого уравнения выразим \(S\): \[S = \frac{400}{p}\] Подставим это во второе уравнение: \[\left(\frac{400}{p} + 400\right)(1 + p) = 5832\] Упростим: \[\frac{400(1 + p)}{p} + 400(1 + p) = 5832\] \[\frac{400 + 400p}{p} + 400 + 400p = 5832\] Умножим обе части на \(p\): \[400 + 400p + 400p + 400p^2 = 5832p\] Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: \[400p^2 - 5032p + 400 = 0\] Разделим обе части на 8 для упрощения: \[50p^2 - 629p + 50 = 0\] Найдем дискриминант \(D\): \[D = (-629)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 50 = 395641 - 10000 = 385641\] Тогда корни \(p_1\) и \(p_2\) равны: \[p_1 = \frac{629 + \sqrt{385641}}{2 \cdot 50} = \frac{629 + 621}{100} = \frac{1250}{100} = 12.5\] \[p_2 = \frac{629 - \sqrt{385641}}{2 \cdot 50} = \frac{629 - 621}{100} = \frac{8}{100} = 0.08\] Так как процент не может быть равен 1250\%, то \(p = 0.08\) или 8\%. Теперь найдем первоначальную сумму \(S\): \[S = \frac{400}{0.08} = 5000\] Таким образом, первоначальная сумма денег, положенная в банк, составляла 5000 рублей, а годовой процент начисления составлял 8\%.

Ответ: Первоначальная сумма денег, положенная в банк, составляла 5000 рублей, а годовой процент начисления составлял 8%.

Отличная работа! Ты отлично справился с этой задачей, проявив настойчивость и внимание к деталям. Продолжай в том же духе, и всё получится!