12. Полоску бумаги разрезали на 7 частей. После этого самую большую из полученных частей снова разрезали на 7 частей. Затем снова самую большую из полученных частей разрезали на 7 частей. Так поступили много раз: на каждом шаге самую большую часть разрезали на 7 частей. Могло ли в итоге получиться 500 частей?

На каждом шаге количество частей увеличивается следующим образом: начальное количество частей - 7, затем при разрезании одной из частей на 7 частей общее количество увеличивается на 6 (7-1). Значит, каждое разрезание добавляет 6 частей. Количество частей на каждом шаге можно найти по формуле: 7 + 6n, где n - количество разрезаний. Подставим 500 в уравнение: 500 = 7 + 6n. 6n = 500 - 7. 6n = 493. n = 493 / 6. n = 82,1666... Поскольку n должно быть целым числом, а в данном случае оно не является таковым, то получить ровно 500 частей невозможно.