Подготовка к контрольной работе № 4 1. В прямоугольном треугольнике MNK угол N = 90°, MN = 24 см, высота NP равна 9,6 см. Найдите №К и cos M. 2. Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна стороне АВ, ВС = 16 см, ∠B = 120°. Найдите площадь параллелограмма. 3. Боковая сторона трапеции, равная 4√2 см, образует с большим основанием угол 45°. Основания трапеции равны 14 см и 22 см. Найдите площадь трапеции.

Решение 1

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNK с углом N = 90°. NP - высота, MN = 24 см, NP = 9,6 см.

2. Чтобы найти NK, сначала найдем MK, используя свойство высоты в прямоугольном треугольнике:

NP * МК = MN * NK

Чтобы найти NK, сначала найдем PK, используя теорему Пифагора для треугольника MNP:

MP² + NP² = MN²

Подставим значения:

MP² = 24² - 9.6² = 576 - 92.16 = 483.84

MP = √483.84 = 22 см (примерно)

Теперь найдем PK:

По теореме Пифагора в треугольнике NPK:

NK² = NP² + PK²

PK = MK - MP

Для начала найдем МК:

NP * МК = MN²

9.6 * MK = 24² = 576

МК = 576 / 9.6 = 60

PK = 60 - 22 = 38

Теперь найдем NK:

NK² = 9.6² + 38² = 92.16 + 1444 = 1536.16

NK = √1536.16 ≈ 39.2

Косинус угла M:

cos M = MN / MK = 24 / 60 = 0.4

По уточненным расчетам с использованием более точных значений:

МК = MN²/NP = 24²/9.6 = 576/9.6 = 60

MP = √(MN² - NP²) = √(24² - 9.6²) = √(576 - 92.16) = √483.84 ≈ 21.996

PK = MK - MP = 60 - 21.996 ≈ 38.004

NK = √(NP² + PK²) = √(9.6² + 38.004²) = √(92.16 + 1444.304) = √1536.464 ≈ 39.2

cos M = MN / MK = 24 / 60 = 0.4

Решение 2

1. Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна стороне AB, BC = 16 см, угол B = 120°.

2. Так как BD перпендикулярна AB, треугольник ABD - прямоугольный. Угол ABD = 90°.

3. Угол CBD = угол ABC - угол ABD = 120° - 90° = 30°.

4. В прямоугольном треугольнике CBD (угол BDC = 90°):

BD = BC * sin(угол C) = BC * sin(120°) = 16 * (√3 / 2) = 8√3 см.

5. Площадь параллелограмма ABCD = AB * BD.

6. В прямоугольном треугольнике ABD:

AB = BC * cos(угол CBD) = 16 * cos(30°) = 16 * (√3 / 2) = 8√3 см.

Площадь = AB * BD = 8√3 * 8√3 = 64 * 3 = 192 см².

Определим площадь через высоту и сторону:

Высота BH = BC * sin 60 = 16 * √3 / 2 = 8√3

Тогда AD = BC = 16 см

Площадь ABCD = AD * BH = 16 * 8√3 = 128√3 см²

Решение 3

1. Боковая сторона трапеции = 4√2 см, образует с большим основанием угол 45°, основания = 14 см и 22 см.

2. Высота трапеции (h) = боковая сторона * sin(45°) = 4√2 * (√2 / 2) = 4 см.

3. Площадь трапеции = ((основание 1 + основание 2) / 2) * высота = ((14 + 22) / 2) * 4 = (36 / 2) * 4 = 18 * 4 = 72 см².