Подберите одночлены А и В с положительными коэффициентами так, чтобы равенство стало тождество (A - B) (x⁶y⁴ + 1/4 x³y²z² + 1/16 z⁴) = A³ - B³

Решение:

Давай внимательно посмотрим на заданное уравнение и вспомним формулу разности кубов: \[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).\]

Теперь сопоставим данное выражение с правой частью формулы:

\[(A - B) (x^6y^4 + \frac{1}{4} x^3y^2z^2 + \frac{1}{16} z^4) = A^3 - B^3\]

Видим, что:

• \(A - B\) соответствует \((a - b)\)
• \(x^6y^4 + \frac{1}{4} x^3y^2z^2 + \frac{1}{16} z^4\) соответствует \((a^2 + ab + b^2)\)

Тогда:

• \(A = x^2y^{\frac{4}{2}} = x^2y^2\)
• \(B = \frac{1}{4}z^2\)

Проверим, так ли это, возведя \(A\) и \(B\) в куб:

• \[A^3 = (x^2y^2)^3 = x^6y^6\]
• \[B^3 = (\frac{1}{4}z^2)^3 = \frac{1}{64}z^6\]

Что-то не сходится. Попробуем пойти другим путем. Заметим, что \(x^6y^4 = (x^3y^2)^2\), \(\frac{1}{16}z^4 = (\frac{1}{4}z^2)^2\), тогда:

• \(A = x^3y^2\)
• \(B = \frac{1}{4}z^2\)

Тогда:

• \[A^2 = (x^3y^2)^2 = x^6y^4\]
• \[B^2 = (\frac{1}{4}z^2)^2 = \frac{1}{16}z^4\]

А второй член \(AB = x^3y^2 \cdot \frac{1}{4}z^2 = \frac{1}{4}x^3y^2z^2\). Все сходится!

Ответ: A = x³y², B = \(\frac{1}{4}\)z²

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!