Под действием силы 100 Н латунная проволока длиной 5 м удлинилась на 1 мм. Модуль Юнга латуни E = 90 ГПа. Определите площадь поперечного сечения проволоки. Ответ дайте в мм², округлив до десятых.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой для модуля Юнга:

\( E = \frac{\sigma}{\epsilon} \)

где \( E \) — модуль Юнга, \( \sigma \) — напряжение, \( \epsilon \) — относительное удлинение.

Сначала переведём все величины в систему СИ:

• Сила \( F = 100 \text{ Н} \)
• Длина \( L = 5 \text{ м} \)
• Удлинение \( \Delta L = 1 \text{ мм} = 1 \times 10^{-3} \text{ м} \)
• Модуль Юнга \( E = 90 \text{ ГПа} = 90 \times 10^9 \text{ Па} \)

Напряжение \( \sigma \) определяется как сила, делённая на площадь поперечного сечения \( A \):

\( \sigma = \frac{F}{A} \)

Относительное удлинение \( \epsilon \) определяется как отношение удлинения к начальной длине:

\( \epsilon = \frac{\Delta L}{L} \)

Подставим эти выражения в формулу для модуля Юнга:

\( E = \frac{\frac{F}{A}}{\frac{\Delta L}{L}} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L} \)

Теперь выразим площадь поперечного сечения \( A \):

\( A = \frac{F \cdot L}{E \cdot \Delta L} \)

Подставим числовые значения:

\( A = \frac{100 \text{ Н} \cdot 5 \text{ м}}{90 \times 10^9 \text{ Па} \cdot 1 \times 10^{-3} \text{ м}} \)

\( A = \frac{500}{90 \times 10^6} \text{ м}^2 \)

\( A = \frac{5}{9 \times 10^5} \text{ м}^2 \)

\( A = \frac{5}{9} \times 10^{-5} \text{ м}^2 \)

Нам нужно дать ответ в \( \text{мм}^2 \). Переведём \( \text{м}^2 \) в \( \text{мм}^2 \): \( 1 \text{ м} = 1000 \text{ мм} \), значит \( 1 \text{ м}^2 = (1000 \text{ мм})^2 = 10^6 \text{ мм}^2 \).

\( A = \frac{5}{9} \times 10^{-5} \times 10^6 \text{ мм}^2 \)

\( A = \frac{5}{9} \times 10 \text{ мм}^2 \)

\( A = \frac{50}{9} \text{ мм}^2 \)

Теперь вычислим десятичное значение и округлим до десятых:

\( A \approx 5.555... \text{ мм}^2 \)

Округляем до десятых:

\( A \approx 5.6 \text{ мм}^2 \)

Ответ: 5.6 мм².