38.11. По течению реки от пристани отплыл плот. Через 4 ч от этой пристани в том же направлении отчалила лодка, догнавшая плот на расстоянии 15 км от пристани. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки составляет 12 км/ч.

Пусть v - скорость течения реки.

Тогда скорость лодки по течению равна (12 + v) км/ч.

Плот до момента встречи с лодкой находился в пути t+4 часа и проплыл 15 км. Поэтому v(t+4) = 15.

Лодка до момента встречи с плотом находилась в пути t часов и проплыла 15 км. Поэтому (12+v)t = 15.

Выразим t из второго уравнения: t = 15 / (12+v).

Подставим это выражение в первое уравнение: v(15/(12+v) + 4) = 15.

$$v \cdot \left(\frac{15}{12+v}+4\right) = 15$$

$$\frac{15v}{12+v} + 4v = 15$$

$$15v + 4v(12+v) = 15(12+v)$$

$$15v + 48v + 4v^2 = 180 + 15v$$

$$4v^2 + 48v - 180 = 0$$

$$v^2 + 12v - 45 = 0$$

$$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 144 + 180 = 324$$

$$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 18}{2} = 3$$

$$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 - 18}{2} = -15$$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому v = 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч