По окружности, длина которой 100 см, движутся равномерно две точки. Они встречаются через каждые 4 с, двигаясь в противоположных направлениях, и через каждые 20 с, двигаясь в одном направлении. Найдите скорости этих точек.

Решение:

Пусть \( v_1 \) и \( v_2 \) — скорости точек (в см/с), а \( L \) — длина окружности (100 см).

1. Когда точки движутся в противоположных направлениях, их относительная скорость равна сумме скоростей: \( v_1 + v_2 \). За время \( t_1 = 4 \) с они проходят вместе всю окружность \( L \). Следовательно:

2. Когда точки движутся в одном направлении, их относительная скорость равна разности скоростей (предположим \( v_1 > v_2 \)): \( v_1 - v_2 \). За время \( t_2 = 20 \) с более быстрая точка обгоняет медленную на один полный круг \( L \). Следовательно:

3. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

4. Сложим уравнения (1) и (2):

5. Подставим значение \( v_1 \) в уравнение (1):

Ответ: Скорости точек составляют 15 см/с и 10 см/с.