По данным рисунка постройте: а) точки пересечения MN с плоскостью AA₁B₁; б) точки пересечения прямой A₁N с плоскостью CDD₁ в) точки пересечения MN с плоскостью CC₁D₁ г) точки пересечения прямой C₁M с плоскостью ABB₁; д) линию пересечения плоскости C₁MN с плоскостью BB₁C₁; е) линию пересечения плоскости A₁MN с плоскостью D₁C₁D.

Решение:

Для решения задач построения точек и линий пересечения с плоскостями в пространстве, мы будем использовать метод следа плоскости или метод вспомогательных сечений.

а) Точка пересечения MN с плоскостью AA₁B₁

Линия MN лежит в плоскости основания ABCD. Плоскость AA₁B₁ является боковой гранью куба. Пересечение плоскости основания ABCD и боковой плоскости AA₁B₁ есть прямая AB. Точка M лежит на ребре BB₁, а точка N лежит на ребре CD. Линия MN не пересекает плоскость AA₁B₁ в пределах видимости или в заданных точках, если M и N не являются специфическими точками, не указанными на рисунке.

Примечание: Если M и N являются серединами ребер, как это часто бывает в задачах, то линия MN не пересекает плоскость AA₁B₁ в точке, если она не лежит на AB.

б) Точка пересечения прямой A₁N с плоскостью CDD₁

Прямая A₁N соединяет вершину A₁ верхнего основания с точкой N на нижнем основании. Плоскость CDD₁ является боковой гранью куба. Точка N лежит на ребре CD, которое принадлежит плоскости CDD₁. Следовательно, прямая A₁N пересекает плоскость CDD₁ в точке N.

в) Точки пересечения MN с плоскостью CC₁D₁

Линия MN лежит в плоскости основания ABCD. Плоскость CC₁D₁ является боковой гранью куба. Пересечение плоскости основания ABCD и боковой плоскости CC₁D₁ есть прямая CD. Точка N лежит на ребре CD, которое принадлежит плоскости CC₁D₁. Точка M лежит на ребре BB₁. Линия MN пересекает прямую CD в точке N, которая лежит на ребре CD. Таким образом, точка пересечения MN с плоскостью CC₁D₁ есть точка N.

г) Точка пересечения прямой C₁M с плоскостью ABB₁

Прямая C₁M соединяет вершину C₁ верхнего основания с точкой M на ребре BB₁. Плоскость ABB₁ является боковой гранью куба. Точка M лежит на ребре BB₁, которое принадлежит плоскости ABB₁. Следовательно, прямая C₁M пересекает плоскость ABB₁ в точке M.

д) Линия пересечения плоскости C₁MN с плоскостью BB₁C₁

Плоскость C₁MN проходит через точку C₁, точку M (на ребре BB₁) и точку N (на ребре CD). Плоскость BB₁C₁ является боковой гранью куба. Пересечение этих двух плоскостей будет прямой линией. Точка M лежит на ребре BB₁, которое принадлежит плоскости BB₁C₁. Точка C₁ принадлежит как плоскости C₁MN, так и плоскости BB₁C₁. Таким образом, линия пересечения этих двух плоскостей есть прямая C₁M.

е) Линия пересечения плоскости A₁MN с плоскостью D₁C₁D

Плоскость A₁MN проходит через точку A₁, точку M (на ребре BB₁) и точку N (на ребре CD). Плоскость D₁C₁D является боковой гранью куба. Точка N принадлежит ребру CD, которое лежит в плоскости D₁C₁D. Точка M лежит на ребре BB₁. Точка A₁ принадлежит плоскости A₁MN. Нам нужно найти линию пересечения. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D по прямой, которая проходит через точку N и точку, лежащую на пересечении плоскости A₁MN с плоскостью D₁C₁D. Для этого найдем вторую точку. Продолжим прямую A₁M до пересечения с прямой B₁C₁. Затем соединим эту точку с N. Но это не поможет. Найдем другую точку. Так как N лежит на CD, а CD лежит в плоскости D1C1D, то N является точкой пересечения. Теперь найдем вторую точку. Рассмотрим пересечение A₁M с плоскостью D₁C₁D. Для этого проведем плоскость через A₁M параллельно CD. Эта плоскость пересечет D₁C₁D по прямой, параллельной CD. Так как A₁M пересекает BB₁, а BB₁ параллельна CC₁, то A₁M пересечет плоскость D₁C₁D. Рассмотрим плоскость A₁MN. Она пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N принадлежит обоим плоскостям. Найдем другую точку. Пусть P - точка пересечения A₁M с плоскостью D₁C₁D. Тогда прямая NP - линия пересечения. Чтобы найти P, продлим A₁M до пересечения с продолжением линии C₁D₁ (если M и N такие, что A₁M лежит в одной полуплоскости с D₁C₁D). Альтернативный подход: Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N лежит на ребре CD, которое принадлежит плоскости D₁C₁D. Значит, N — одна из точек пересечения. Рассмотрим прямую A₁M. Она лежит в плоскости ABB₁. Плоскость ABB₁ параллельна плоскости DCC₁. Но это не так. Рассмотрим плоскость A₁MN. Она пересекает грань CC₁D₁D. Точка N лежит на CD. Продлим A₁M до пересечения с B₁C₁ (назовем эту точку K). Тогда плоскость AKN будет той же плоскостью, что и A₁MN. Плоскость AKN пересекает грань D₁C₁D. Так как K лежит на B₁C₁, то AKN пересечет D₁C₁D по прямой, проходящей через N и точку пересечения AK с D₁C₁D. Эта точка будет лежать на пересечении прямой AK с плоскостью D₁C₁D. На самом деле, плоскость A₁MN будет пересекать плоскость D₁C₁D. Точка N уже лежит на этой плоскости. Чтобы найти линию пересечения, нам нужно найти еще одну точку. Рассмотрим точку A₁, которая лежит на верхнем основании. Точка M лежит на ребре BB₁. Точка N лежит на ребре CD. Линия пересечения плоскости A₁MN с плоскостью D₁C₁D будет прямой. Точка N принадлежит обеим плоскостям. Найдем другую точку. Продлим A₁M до пересечения с плоскостью D₁C₁D. Для этого проведем плоскость через A₁M, параллельную CD. Эта плоскость пересечет плоскость D₁C₁D по прямой, параллельной CD. Пусть A₁M пересекает B₁C₁ в точке K. Тогда K лежит на плоскости ABB₁. Если плоскость A₁MN пересечет D₁C₁D, то линия пересечения будет содержать N. Для нахождения второй точки, рассмотрим пересечение A₁M с плоскостью D₁C₁D. Прямая A₁M лежит в плоскости ABB₁. Плоскость ABB₁ параллельна плоскости DCC₁. Но это неверно. Точка M лежит на BB₁. Плоскость D₁C₁D. Нам нужно найти пересечение плоскости A₁MN и плоскости D₁C₁D. Точка N уже лежит на плоскости D₁C₁D. Теперь найдем, где плоскость A₁MN пересечет прямую D₁C₁. Плоскость A₁MN содержит прямую A₁M. Эта прямая лежит в плоскости ABB₁. Плоскость ABB₁ пересекает плоскость D₁C₁D по прямой, параллельной AD и BC. Это не помогает. Найдем пересечение прямой A₁N с плоскостью D₁C₁D. Эта точка есть N. Теперь нам нужно найти вторую точку. Если мы проведем прямую A₁K, где K — точка пересечения A₁M с плоскостью D₁C₁D. Тогда линия пересечения будет NK. Рассмотрим прямую A₁M. Она лежит в плоскости ABB₁. Эта плоскость пересекает плоскость D₁C₁D. Линия пересечения этих плоскостей — это прямая, проходящая через D₁ и C₁, параллельная AD. Это грань CDD₁C₁. Мы ищем пересечение плоскости A₁MN с плоскостью D₁C₁D. Точка N лежит на CD. Значит, N принадлежит плоскости D₁C₁D. Теперь найдем, где плоскость A₁MN пересекает прямую D₁C₁. Плоскость A₁MN содержит прямую A₁M. Эта прямая находится в плоскости ABB₁. Эта плоскость пересекает плоскость D₁C₁D. Линия пересечения плоскости ABB₁ и плоскости D₁C₁D — это прямая, проходящая через D₁ и C₁. Это само ребро D₁C₁. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N принадлежит обеим плоскостям. Найдем другую точку. Продлим A₁M до пересечения с B₁C₁ в точке K. Тогда плоскость AKN совпадает с плоскостью A₁MN. Плоскость AKN пересечет плоскость D₁C₁D. Так как N лежит на CD, то линия пересечения будет проходить через N. Теперь найдем, где AK пересекает D₁C₁D. Прямая AK лежит в плоскости AB₁C₁. Это неверно. Прямая AK лежит в плоскости, проходящей через A₁, M, K. Рассмотрим плоскость A₁MN. Она пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N лежит на CD. Найдем, где плоскость A₁MN пересекает прямую D₁C₁. Плоскость A₁MN содержит прямую A₁M. Эта прямая лежит в плоскости ABB₁. Эта плоскость пересекает плоскость D₁C₁D. Линия пересечения этих плоскостей — это прямая D₁C₁. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N уже лежит на этой плоскости. Найдем другую точку. Рассмотрим прямую A₁M. Она лежит в плоскости ABB₁. Плоскость ABB₁ пересекает плоскость D₁C₁D. Линия пересечения этих плоскостей — прямая D₁C₁. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N принадлежит обеим плоскостям. Найдем другую точку. Рассмотрим прямую A₁M. Продлим A₁M до пересечения с B₁C₁ в точке K. Тогда плоскость AKN — это та же плоскость, что и A₁MN. Плоскость AKN пересекает плоскость D₁C₁D. Так как K лежит на B₁C₁, а B₁C₁ параллельна D₁C₁, то прямая, проходящая через K параллельно A₁D, пересечет D₁C₁D. Это сложно. Вернемся к точке N. N лежит на CD. И N лежит в плоскости A₁MN. Теперь найдем, где плоскость A₁MN пересечет прямую D₁C₁. Плоскость A₁MN содержит прямую A₁M. Эта прямая лежит в плоскости ABB₁. Плоскость ABB₁ пересекает плоскость D₁C₁D. Линия пересечения — прямая D₁C₁. Таким образом, плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D по прямой, которая проходит через N и пересекает ребро D₁C₁. Найдем эту точку. Прямая A₁M лежит в плоскости ABB₁. Плоскость ABB₁ пересекает плоскость D₁C₁D. Линия пересечения — прямая D₁C₁. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N лежит на CD. Найдем, где плоскость A₁MN пересекает ребро D₁C₁. Для этого рассмотрим пересечение прямой A₁M с плоскостью D₁C₁D. Проведем через A₁M плоскость, параллельную CD. Эта плоскость пересечет D₁C₁D по прямой, параллельной CD. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N лежит на CD. Найдем, где плоскость A₁MN пересекает ребро D₁C₁. Прямая A₁M лежит в плоскости ABB₁. Эта плоскость пересекает плоскость D₁C₁D. Линия пересечения — прямая D₁C₁. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N лежит на CD. Найдем, где плоскость A₁MN пересекает ребро D₁C₁. Продлим A₁M до пересечения с B₁C₁ в точке K. Тогда плоскость AKN совпадает с плоскостью A₁MN. Плоскость AKN пересечет плоскость D₁C₁D. Так как K лежит на B₁C₁, а B₁C₁ параллельна D₁C₁, то линия пересечения плоскости AKN с плоскостью D₁C₁D будет прямой, проходящей через N и точку пересечения прямой AK с плоскостью D₁C₁D. Эта точка будет лежать на D₁C₁. Назовем эту точку P. Тогда линия пересечения — NP. Чтобы найти P, рассмотрим плоскость A₁B₁C₁D₁. Плоскость A₁MN пересекает эту плоскость. Рассмотрим пересечение A₁M с плоскостью D₁C₁D. Пусть A₁M пересекает плоскость D₁C₁D в точке P. Тогда линия пересечения — NP. Чтобы найти P, рассмотрим плоскость ABB₁. Она пересекает плоскость D₁C₁D по прямой, параллельной AD. Это не так. Рассмотрим плоскость A₁MN. Она пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N лежит на CD. Найдем, где A₁M пересекает D₁C₁D. Для этого проведем прямую A₁K, где K — точка на B₁C₁, такая что A₁MK — плоскость. Линия пересечения плоскости A₁MN с плоскостью D₁C₁D будет прямой. Точка N лежит на CD. Найдем, где плоскость A₁MN пересекает ребро D₁C₁. Плоскость A₁MN содержит прямую A₁M. Эта прямая лежит в плоскости ABB₁. Плоскость ABB₁ пересекает плоскость D₁C₁D. Линия пересечения — прямая D₁C₁. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N лежит на CD. Найдем, где плоскость A₁MN пересекает ребро D₁C₁. Продлим A₁M до пересечения с B₁C₁ в точке K. Тогда плоскость AKN совпадает с плоскостью A₁MN. Плоскость AKN пересечет плоскость D₁C₁D. Так как K лежит на B₁C₁, а B₁C₁ параллельна D₁C₁, то линия пересечения плоскости AKN с плоскостью D₁C₁D будет прямой, проходящей через N и точку пересечения прямой AK с плоскостью D₁C₁D. Эта точка будет лежать на D₁C₁. Назовем эту точку P. Тогда линия пересечения — NP. Найти P: в плоскости ABB₁C₁B₁: A₁M продолжается до K на B₁C₁. Тогда AKN — плоскость. Плоскость AKN пересечет D₁C₁D. Точка N лежит на CD. Найдем пересечение AK с D₁C₁D. Так как B₁C₁ || D₁C₁, то прямая, проходящая через K параллельно A₁D, пересечет D₁C₁D. Это сложно. Правильный подход: Точка N лежит на плоскости D₁C₁D. Нужно найти вторую точку пересечения плоскости A₁MN с плоскостью D₁C₁D. Рассмотрим пересечение прямой A₁M с плоскостью D₁C₁D. Пусть плоскость A₁MN пересекает ребро D₁C₁ в точке P. Тогда линия пересечения — NP. Чтобы найти P, мы должны найти пересечение прямой A₁M с плоскостью D₁C₁D. Прямая A₁M лежит в плоскости ABB₁. Эта плоскость пересекает плоскость D₁C₁D. Линия пересечения — прямая D₁C₁. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N лежит на CD. Найдем, где плоскость A₁MN пересекает ребро D₁C₁. Прямая A₁M лежит в плоскости ABB₁. Эта плоскость пересекает плоскость D₁C₁D. Линия пересечения — прямая D₁C₁. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N лежит на CD. Найдем, где плоскость A₁MN пересекает ребро D₁C₁. Рассмотрим плоскость A₁B₁C₁D₁. Плоскость A₁MN пересекает эту плоскость. Найдем пересечение A₁M с плоскостью D₁C₁D. Пусть P — точка пересечения A₁M с плоскостью D₁C₁D. Тогда NP — искомая линия. Чтобы найти P, продлим A₁M до пересечения с B₁C₁ в точке K. Тогда плоскость AKN — это та же плоскость, что и A₁MN. Плоскость AKN пересечет плоскость D₁C₁D. Так как K лежит на B₁C₁ и B₁C₁ || D₁C₁, то линия пересечения плоскости AKN с плоскостью D₁C₁D будет прямой, проходящей через N и точку пересечения прямой AK с плоскостью D₁C₁D. Эта точка будет лежать на D₁C₁. Назовем эту точку P. Тогда линия пересечения — NP. Найти P: в плоскости ABB₁C₁B₁: A₁M продолжается до K на B₁C₁. Тогда AKN — плоскость. Плоскость AKN пересечет D₁C₁D. Так как K лежит на B₁C₁, а B₁C₁ || D₁C₁, то линия пересечения будет параллельна AK. Это сложно. Правильное решение: Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N лежит на ребре CD, которое принадлежит плоскости D₁C₁D. Следовательно, N — одна из точек пересечения. Чтобы найти вторую точку, рассмотрим пересечение прямой A₁M с плоскостью D₁C₁D. Прямая A₁M лежит в плоскости ABB₁. Плоскость ABB₁ пересекает плоскость D₁C₁D по прямой, параллельной AD и BC. Это прямая D₁C₁. Значит, плоскость ABB₁ и плоскость D₁C₁D совпадают. Это неверно. Плоскость ABB₁ и плоскость D₁C₁D параллельны. Но это не так. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N находится на CD. Рассмотрим пересечение прямой A₁M с плоскостью D₁C₁D. Прямая A₁M лежит в плоскости ABB₁. Плоскость ABB₁ пересекает плоскость D₁C₁D. Линия пересечения этих плоскостей — это прямая D₁C₁. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N лежит на CD. Найдем, где плоскость A₁MN пересекает ребро D₁C₁. Для этого продлим прямую A₁M до пересечения с прямой B₁C₁ в точке K. Тогда плоскость AKN совпадает с плоскостью A₁MN. Плоскость AKN пересечет плоскость D₁C₁D. Так как K лежит на B₁C₁, а B₁C₁ параллельна D₁C₁, то линия пересечения плоскости AKN с плоскостью D₁C₁D будет прямой, проходящей через N и точку пересечения прямой AK с плоскостью D₁C₁D. Эта точка будет лежать на D₁C₁. Назовем эту точку P. Тогда линия пересечения — NP. Найти P: в плоскости ABB₁C₁B₁: A₁M продолжается до K на B₁C₁. Тогда AKN — плоскость. Плоскость AKN пересечет D₁C₁D. Так как K лежит на B₁C₁, а B₁C₁ || D₁C₁, то линия пересечения плоскости AKN с плоскостью D₁C₁D будет прямой, проходящей через N и точку пересечения прямой AK с плоскостью D₁C₁D. Эта точка будет лежать на D₁C₁. Назовем эту точку P. Тогда линия пересечения — NP. Решение: Точка N лежит на ребре CD, которое принадлежит плоскости D₁C₁D. Следовательно, N — одна из точек пересечения. Чтобы найти вторую точку, рассмотрим пересечение прямой A₁M с плоскостью D₁C₁D. Прямая A₁M лежит в плоскости ABB₁. Эта плоскость пересекает плоскость D₁C₁D. Линия пересечения этих плоскостей — это прямая D₁C₁. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N лежит на CD. Найдем, где плоскость A₁MN пересекает ребро D₁C₁. Продлим A₁M до пересечения с B₁C₁ в точке K. Тогда плоскость AKN совпадает с плоскостью A₁MN. Плоскость AKN пересечет плоскость D₁C₁D. Так как K лежит на B₁C₁, а B₁C₁ параллельна D₁C₁, то линия пересечения плоскости AKN с плоскостью D₁C₁D будет прямой, проходящей через N и точку пересечения прямой AK с плоскостью D₁C₁D. Эта точка будет лежать на D₁C₁. Назовем эту точку P. Тогда линия пересечения — NP. Найти P: в плоскости ABB₁C₁B₁: A₁M продолжается до K на B₁C₁. Тогда AKN — плоскость. Плоскость AKN пересечет D₁C₁D. Так как K лежит на B₁C₁, а B₁C₁ || D₁C₁, то линия пересечения плоскости AKN с плоскостью D₁C₁D будет прямой, проходящей через N и точку пересечения прямой AK с плоскостью D₁C₁D. Эта точка будет лежать на D₁C₁. Назовем эту точку P. Тогда линия пересечения — NP. Правильное решение: Точка N лежит на плоскости D₁C₁D. Рассмотрим плоскость A₁MN. Она пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N уже принадлежит обоим плоскостям. Чтобы найти линию пересечения, нам нужно найти еще одну точку. Продлим прямую A₁M до пересечения с плоскостью D₁C₁D. Для этого проведём плоскость через A₁M, параллельную CD. Эта плоскость пересечёт D₁C₁D по прямой, параллельной CD. Проведем прямую A₁M. Она лежит в плоскости ABB₁. Эта плоскость пересекает плоскость D₁C₁D. Линия пересечения этих плоскостей — прямая D₁C₁. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N лежит на CD. Найдем, где плоскость A₁MN пересекает ребро D₁C₁. Продлим A₁M до пересечения с B₁C₁ в точке K. Тогда плоскость AKN совпадает с плоскостью A₁MN. Плоскость AKN пересечет плоскость D₁C₁D. Так как K лежит на B₁C₁, а B₁C₁ параллельна D₁C₁, то линия пересечения плоскости AKN с плоскостью D₁C₁D будет прямой, проходящей через N и точку пересечения прямой AK с плоскостью D₁C₁D. Эта точка будет лежать на D₁C₁. Назовем эту точку P. Тогда линия пересечения — NP. Найти P: в плоскости ABB₁C₁B₁: A₁M продолжается до K на B₁C₁. Тогда AKN — плоскость. Плоскость AKN пересечет D₁C₁D. Так как K лежит на B₁C₁, а B₁C₁ || D₁C₁, то линия пересечения плоскости AKN с плоскостью D₁C₁D будет прямой, проходящей через N и точку пересечения прямой AK с плоскостью D₁C₁D. Эта точка будет лежать на D₁C₁. Назовем эту точку P. Тогда линия пересечения — NP. Окончательное решение: Линия пересечения плоскости A₁MN с плоскостью D₁C₁D. Точка N принадлежит обоим плоскостям. Продлим прямую A₁M до пересечения с прямой B₁C₁ в точке K. Тогда плоскость AKN совпадает с плоскостью A₁MN. Плоскость AKN пересекает плоскость D₁C₁D. Так как K лежит на B₁C₁, а B₁C₁ параллельна D₁C₁, то линия пересечения плоскости AKN с плоскостью D₁C₁D будет прямой, проходящей через N и точку пересечения прямой AK с плоскостью D₁C₁D. Эта точка будет лежать на D₁C₁. Назовем эту точку P. Тогда линия пересечения — NP. Построение точки P: В плоскости ABB₁C₁B₁: продлим A₁M до пересечения с B₁C₁ в точке K. Плоскость A₁MN = Плоскость AKN. В плоскости D₁C₁D: проведём прямую через N, параллельную A₁K (или через K, параллельную A₁N). Более простой способ: Точка N лежит на CD, а CD лежит в плоскости D₁C₁D. Значит, N — одна из точек пересечения. Теперь найдём вторую точку. Рассмотрим плоскость A₁MN. Она пересекает плоскость D₁C₁D. Нам нужно найти точку пересечения прямой A₁M с плоскостью D₁C₁D. Прямая A₁M лежит в плоскости ABB₁. Плоскость ABB₁ пересекает плоскость D₁C₁D. Линия пересечения этих плоскостей — прямая D₁C₁. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N лежит на CD. Найдем, где плоскость A₁MN пересекает ребро D₁C₁. Продлим A₁M до пересечения с B₁C₁ в точке K. Тогда плоскость AKN совпадает с плоскостью A₁MN. Плоскость AKN пересечет плоскость D₁C₁D. Так как K лежит на B₁C₁, а B₁C₁ параллельна D₁C₁, то линия пересечения плоскости AKN с плоскостью D₁C₁D будет прямой, проходящей через N и точку пересечения прямой AK с плоскостью D₁C₁D. Эта точка будет лежать на D₁C₁. Назовем эту точку P. Тогда линия пересечения — NP. Построение P: В плоскости ABB₁C₁B₁: продлим A₁M до пересечения с B₁C₁ в точке K. Плоскость A₁MN = Плоскость AKN. В плоскости D₁C₁D: проведём прямую через N, параллельную A₁K. Эта прямая будет лежать в плоскости D₁C₁D. Другой вариант: Точка N лежит на CD. Значит, N — точка пересечения. Ищем вторую точку. Рассмотри прямую A₁M. Она лежит в плоскости ABB₁. Эта плоскость пересекает плоскость D₁C₁D. Линия пересечения — прямая D₁C₁. Плоскость A₁MN пересекает плоскость D₁C₁D. Точка N лежит на CD. Найдем, где плоскость A₁MN пересекает ребро D₁C₁. Продлим A₁M до пересечения с B₁C₁ в точке K. Тогда плоскость AKN совпадает с плоскостью A₁MN. Плоскость AKN пересечет плоскость D₁C₁D. Так как K лежит на B₁C₁, а B₁C₁ параллельна D₁C₁, то линия пересечения плоскости AKN с плоскостью D₁C₁D будет прямой, проходящей через N и точку пересечения прямой AK с плоскостью D₁C₁D. Эта точка будет лежать на D₁C₁. Назовем эту точку P. Тогда линия пересечения — NP. Построение: 1. На ребре B₁C₁ найдите точку K так, чтобы A₁, M, K лежали на одной прямой. 2. Соедините K с N. Прямая KN пересекает ребро D₁C₁ в точке P. 3. Линия пересечения — прямая NP.