По данным рисунка найдите длину ТО. В ответ впишите только число.

Решение:

На рисунке представлены два прямоугольных треугольника: \(\triangle TCO\) и \(\triangle PBO\). Угол \(\angle TOC\) и \(\angle POB\) — вертикальные, следовательно, равны.

В \(\triangle TCO\): \(\angle TCO = 90^{\circ}\). По теореме Пифагора: \( TO^2 = TC^2 + CO^2 \).

В \(\triangle PBO\): \(\angle PBO = 90^{\circ}\). Известно, что \( PB = 3 \) и \( OB = 4 \). По теореме Пифагора: \( PO^2 = PB^2 + OB^2 \).

Заметим, что \(\triangle TCO\) и \(\triangle PBO\) подобны по двум углам (один угол прямой, другой — вертикальный). Следовательно, отношения соответствующих сторон равны:

\( \frac{TC}{PB} = \frac{CO}{OB} = \frac{TO}{PO} \)

Из подобия имеем:

\( \frac{CO}{4} = \frac{TO}{PO} \) и \( \frac{TC}{3} = \frac{CO}{4} \).

Из рисунка видно, что \( CO = OB \) (отмечено одинаковыми штрихами). Значит, \( CO = 4 \).

Теперь можем найти \( TC \):

\( \frac{TC}{3} = \frac{4}{4} \)

\( \frac{TC}{3} = 1 \)

\( TC = 3 \).

Теперь найдём \( TO \) в \(\triangle TCO\) по теореме Пифагора:

\[ TO^2 = TC^2 + CO^2 \]

\[ TO^2 = 3^2 + 4^2 \]

\[ TO^2 = 9 + 16 \]

\[ TO^2 = 25 \]

\[ TO = \sqrt{25} \]

\[ TO = 5 \]

Ответ: 5