4*. По данным рисунка докажите, что BD=\frac{3}{4} AB.

Доказательство:

• Рассмотрим треугольник ABC. Пусть угол \(BAC = \alpha\), тогда угол \(BCA = 90^\circ - \alpha\).
• Рассмотрим треугольник BDC. Угол \(DBC = 90^\circ - \alpha\), значит угол \(BDC = \alpha\) (так как сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\)).
• Таким образом, треугольники ABC и BDC подобны по двум углам.
• Из подобия треугольников следует пропорция: \(\frac{BC}{AB} = \frac{BD}{BC}\).
• По условию \(BC = 2x\) и \(CD = x\).
• Из прямоугольного треугольника BCD получаем: \(BD^2 + CD^2 = BC^2\), то есть \(BD^2 + x^2 = (2x)^2\), откуда \(BD^2 = 3x^2\) и \(BD = x\sqrt{3}\).
• Пусть \(AB = y\). Из подобия треугольников имеем: \(\frac{2x}{y} = \frac{x\sqrt{3}}{2x}\), откуда \(y = \frac{4x}{\sqrt{3}}\).
• Тогда \(\frac{BD}{AB} = \frac{x\sqrt{3}}{\frac{4x}{\sqrt{3}}} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}\).
• Следовательно, \(BD = \frac{3}{4} AB\).