4*. По данным рисунка докажите, что AD=1/3 BD.

Доказательство:

• Пусть \( DC = x \), тогда \( BC = 2x \).
• По теореме Пифагора для треугольника \( ADC \):
  \( AD = \sqrt{AC^2 + DC^2} = \sqrt{(2x)^2 - x^2} = \sqrt{4x^2 - x^2} = \sqrt{3x^2} = x\sqrt{3} \)
• Для треугольника \( BDC \):
  \( BD = \sqrt{DC^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{x^2 + 4x^2} = \sqrt{5x^2} = x\sqrt{5} \)
• Следовательно, нужно доказать, что \( AD = \frac{1}{3} BD \), то есть \( x\sqrt{3} = \frac{1}{3} x\sqrt{5} \)
• Разделим обе части на \( x \): \( \sqrt{3} = \frac{1}{3} \sqrt{5} \)
• Возведем обе части в квадрат: \( 3 = \frac{1}{9} \cdot 5 \), то есть \( 3 = \frac{5}{9} \)

Полученное равенство неверно, следовательно, утверждение \( AD = \frac{1}{3} BD \) неверно. Вероятно, в условии ошибка.