Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу 120°. Вычислить площадь полной поверхности цилиндра, если высота цилиндра равна 10 см, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно 5 см.

Решение:

Дано:

• Высота цилиндра \( h = 10 \) см.
• Расстояние от оси до секущей плоскости \( d = 5 \) см.
• Дуга основания \( \alpha = 120^{\circ} \).

Найдём радиус основания \( R \) цилиндра. Секущая плоскость отсекает хорду, стягивающую дугу \( 120^{\circ} \). Длина этой хорды равна \( 2R  \sin(\frac{\alpha}{2}) \).

Расстояние от центра окружности до хорды \( d = R  \cos(\frac{\alpha}{2}) \).

Подставим известные значения:

\( 5 = R  \cos(\frac{120^{\circ}}{2}) \)

\( 5 = R  \cos(60^{\circ}) \)

\( 5 = R  \frac{1}{2} \)

\( R = 10 \) см.

Теперь вычислим площадь полной поверхности цилиндра по формуле \( S_{полн} = 2  \pi R^2 + 2  \pi R  h \).

\( S_{полн} = 2  \pi  (10)^2 + 2  \pi  10  10 \)

\( S_{полн} = 2  \pi  100 + 200  \pi \)

\( S_{полн} = 200  \pi + 200  \pi \)

\( S_{полн} = 400  \pi \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна \( 400  \pi \) см².