Площадь треугольника S=\frac{15\sqrt{3}}{4}. Найдите его периметр P.

Давай решим эту задачу по геометрии вместе! Сначала вспомним формулу площади треугольника, когда известна одна сторона и угол, противолежащий этой стороне: \[S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)\] где \(a\) и \(b\) - две стороны треугольника, а \(\gamma\) - угол между ними. В нашем случае, пусть сторона \(a = 5\), угол \(\gamma = 120^\circ\), и площадь \(S = \frac{15\sqrt{3}}{4}\). Подставим эти значения в формулу: \[\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot b \cdot \sin(120^\circ)\] Учитывая, что \(\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получим: \[\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{5}{2} \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] Теперь решим уравнение относительно \(b\): \[\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{4} \cdot b\] \[b = \frac{15\sqrt{3}}{4} \div \frac{5\sqrt{3}}{4}\] \[b = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4}{5\sqrt{3}}\] \[b = \frac{15}{5} = 3\] Теперь, когда мы знаем две стороны треугольника (5 и 3) и угол между ними (120 градусов), мы можем найти третью сторону \(c\) с помощью теоремы косинусов: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)\] \[c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)\] Учитывая, что \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\), получим: \[c^2 = 25 + 9 - 30 \cdot \left(-\frac{1}{2}\\\right)\] \[c^2 = 34 + 15\] \[c^2 = 49\] \[c = \sqrt{49} = 7\] Теперь мы знаем все три стороны треугольника: 5, 3 и 7. Периметр \(P\) равен сумме длин всех сторон: \[P = a + b + c\] \[P = 5 + 3 + 7\] \[P = 15\]

Ответ: 15

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Молодец!