Площадь ромба равна 12. Одна из его диагоналей на 2 больше другой. Найдите меньшую диагональ.

Пусть ( d_1 ) – меньшая диагональ ромба, тогда ( d_2 = d_1 + 2 ) – большая диагональ.

Площадь ромба можно вычислить по формуле:

$$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$

Подставим известные значения:

$$12 = \frac{1}{2} d_1 (d_1 + 2)$$

Умножим обе части уравнения на 2:

$$24 = d_1 (d_1 + 2)$$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$$d_1^2 + 2d_1 - 24 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:

$$d_{1_1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$d_{1_2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Поскольку длина диагонали не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

$$d_1 = 4$$

Ответ: Меньшая диагональ равна 4.