Площадь равностороннего треугольника равна 18√3. Найдите его медиану.

Решение:

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \), где \( a \) — длина стороны треугольника.

1. Выразим длину стороны \( a \) из формулы площади: \( a^2 = \frac{4S}{\sqrt{3}} \).
2. Подставим данное значение площади \( S = 18\sqrt{3} \): \( a^2 = \frac{4 \cdot 18\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \cdot 18 = 72 \).
3. Найдем длину стороны: \( a = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \).
4. Медиана равностороннего треугольника является также его высотой и биссектрисой. Формула для нахождения медианы (высоты) \( h \) равностороннего треугольника: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
5. Подставим найденное значение стороны \( a = 6\sqrt{2} \): \( h = \frac{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6} \).

Ответ: 3√6.