1. Площадь прямоугольного треугольника равна 16. Один из его катетов равен 4. Найдите другой катет. 2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10. 3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника. 4. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне? 5. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1. 6. Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 2. 7. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, и одна сторона на 3 больше другой. 8. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, а отношение соседних сторон равно 1:2. 9. Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как 4:5, а другая сторона равна 6. Найдите площадь прямоугольника. 10. Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов. 11. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12. 12. Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ. 13. Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ. 14. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба. 15. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма. 16. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма. 17. Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка Е — середина стороны АД. Найдите площадь трапеции АВСЕ. 18. Площадь параллелограмма ABCD равна 176. Точка Е середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE. 19. Основания трапеции равны 1 и 3, высота — 1. Найдите площадь трапеции. 20. Основания трапеции равны 8 и 34, площадь равна 168. Найдите ее высоту. 21. Основание трапеции равно 13, высота равна 5, а площадь равна 50. Найдите второе основание трапеции. 22. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции. 23. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции. 24. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°.

Привет! Давай решим эти задачи по геометрии. Будем двигаться шаг за шагом, и ты увидишь, что все не так сложно, как кажется!

1. Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Если площадь равна 16, а один катет равен 4, то:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

\[ 16 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot b \]

\[ 16 = 2 \cdot b \]

\[ b = \frac{16}{2} = 8 \]

Ответ: Другой катет равен 8.

2. Площадь прямоугольного треугольника (катет и гипотенуза)

Пусть катет \( a = 6 \), а гипотенуза \( c = 10 \). Найдем второй катет \( b \) по теореме Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

\[ 6^2 + b^2 = 10^2 \]

\[ 36 + b^2 = 100 \]

\[ b^2 = 100 - 36 = 64 \]

\[ b = \sqrt{64} = 8 \]

Теперь найдем площадь:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \]

Ответ: Площадь равна 24.

3. Площадь равнобедренного треугольника

Боковая сторона равна 5, основание равно 6. Найдем высоту, проведенную к основанию. Она разделит основание пополам. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 и катетом 3.

По теореме Пифагора:

\[ h^2 + 3^2 = 5^2 \]

\[ h^2 + 9 = 25 \]

\[ h^2 = 16 \]

\[ h = 4 \]

Площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \]

Ответ: Площадь равна 12.

4. Высоты треугольника

Площадь треугольника можно выразить как половину произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \]

Стороны 9 и 6, высота к первой стороне 4. Тогда:

\[ \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h_b \]

\[ 36 = 6 \cdot h_b \]

\[ h_b = \frac{36}{6} = 6 \]

Ответ: Высота ко второй стороне равна 6.

5. Площадь квадрата через диагональ

Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot d^2 \]

Если диагональ равна 1:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} \]

Ответ: Площадь равна 0.5.

6. Диагональ квадрата через площадь

Если площадь равна 2:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot d^2 \]

\[ 2 = \frac{1}{2} \cdot d^2 \]

\[ d^2 = 4 \]

\[ d = \sqrt{4} = 2 \]

Ответ: Диагональ равна 2.

7. Площадь прямоугольника (периметр и разность сторон)

Пусть одна сторона \( x \), тогда другая \( x + 3 \). Периметр равен 18:

\[ 2(x + x + 3) = 18 \]

\[ 2(2x + 3) = 18 \]

\[ 4x + 6 = 18 \]

\[ 4x = 12 \]\[ x = 3 \]

Стороны 3 и 6. Площадь:

\[ S = 3 \cdot 6 = 18 \]

Ответ: Площадь равна 18.

8. Площадь прямоугольника (периметр и отношение сторон)

Пусть одна сторона \( x \), тогда другая \( 2x \). Периметр равен 18:

\[ 2(x + 2x) = 18 \]

\[ 2(3x) = 18 \]

\[ 6x = 18 \]

\[ x = 3 \]

Стороны 3 и 6. Площадь:

\[ S = 3 \cdot 6 = 18 \]

Ответ: Площадь равна 18.

9. Площадь прямоугольника (отношение стороны к диагонали)

Пусть сторона \( a = 6 \). Отношение стороны к диагонали 4:5, значит:

\[ \frac{b}{d} = \frac{4}{5} \]

\[ \frac{6}{d} = \frac{4}{5} \]

\[ d = \frac{6 \cdot 5}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 \]

Теперь найдем другую сторону \( a \) через теорему Пифагора:

\[ a^2 + 6^2 = 7.5^2 \]

\[ a^2 + 36 = 56.25 \]

\[ a^2 = 20.25 \]

\[ a = \sqrt{20.25} = 4.5 \]

Площадь:

\[ S = 6 \cdot 4.5 = 27 \]

Ответ: Площадь равна 27.

10. Диагональ квадрата (разность площадей)

Диагонали квадратов 10 и 6. Площади квадратов:

\[ S_1 = \frac{1}{2} \cdot 10^2 = 50 \]

\[ S_2 = \frac{1}{2} \cdot 6^2 = 18 \]

Разность площадей: \( 50 - 18 = 32 \). Площадь нового квадрата равна 32. Найдем его диагональ \( d \):

\[ 32 = \frac{1}{2} \cdot d^2 \]

\[ d^2 = 64 \]

\[ d = \sqrt{64} = 8 \]

Ответ: Диагональ равна 8.

11. Площадь ромба через диагонали

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \]

Диагонали 4 и 12:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 = 24 \]

Ответ: Площадь равна 24.

12. Диагональ ромба (площадь и одна диагональ)

Площадь ромба равна 18, одна диагональ равна 12. Найдем другую диагональ:

\[ 18 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot d_2 \]

\[ 18 = 6 \cdot d_2 \]

\[ d_2 = \frac{18}{6} = 3 \]

Ответ: Другая диагональ равна 3.

13. Диагонали ромба (площадь и отношение)

Площадь ромба равна 6, одна диагональ в 3 раза больше другой. Пусть меньшая диагональ \( x \), тогда большая \( 3x \):

\[ 6 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 3x \]

\[ 6 = \frac{3}{2} \cdot x^2 \]

\[ x^2 = \frac{6 \cdot 2}{3} = 4 \]

\[ x = \sqrt{4} = 2 \]

Ответ: Меньшая диагональ равна 2.

14. Высота ромба (отношение диагоналей и периметр)

Диагонали ромба относятся как 3:4, периметр равен 200. Пусть диагонали \( 3x \) и \( 4x \). Сторона ромба равна \( \frac{200}{4} = 50 \). Половины диагоналей \( 1.5x \) и \( 2x \). По теореме Пифагора:

\[ (1.5x)^2 + (2x)^2 = 50^2 \]

\[ 2.25x^2 + 4x^2 = 2500 \]

\[ 6.25x^2 = 2500 \]

\[ x^2 = \frac{2500}{6.25} = 400 \]

\[ x = \sqrt{400} = 20 \]

Диагонали: \( 3 \cdot 20 = 60 \) и \( 4 \cdot 20 = 80 \). Площадь ромба:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 80 = 2400 \]

Площадь также равна произведению стороны на высоту:

\[ 2400 = 50 \cdot h \]

\[ h = \frac{2400}{50} = 48 \]

Ответ: Высота равна 48.

15. Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма 9 и 15. Высота к первой стороне 10. Площадь параллелограмма:

\[ S = 9 \cdot 10 = 90 \]

Найдем высоту ко второй стороне:

\[ 90 = 15 \cdot h \]

\[ h = \frac{90}{15} = 6 \]

Ответ: Высота ко второй стороне равна 6.

16. Высота параллелограмма

Площадь параллелограмма 40, стороны 5 и 10. Большая высота соответствует меньшей стороне:

\[ 40 = 5 \cdot h \]

\[ h = \frac{40}{5} = 8 \]

Ответ: Большая высота равна 8.

17. Площадь трапеции ABCE

Площадь параллелограмма ABCD равна 189. E - середина стороны AD. Площадь трапеции ABCE равна \( \frac{3}{4} \) площади параллелограмма, так как трапеция составляет \( \frac{3}{4} \) от параллелограмма (половина основания).

\[ S_{ABCE} = \frac{3}{4} \cdot 189 = 141.75 \]

Ответ: Площадь трапеции ABCE равна 141.75.

18. Площадь треугольника ADE

Площадь параллелограмма ABCD равна 176. E - середина стороны CD. Площадь треугольника ADE равна \( \frac{1}{4} \) площади параллелограмма.

\[ S_{ADE} = \frac{1}{4} \cdot 176 = 44 \]

Ответ: Площадь треугольника ADE равна 44.

19. Площадь трапеции

Основания трапеции равны 1 и 3, высота равна 1. Площадь трапеции:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{1 + 3}{2} \cdot 1 = 2 \]

Ответ: Площадь трапеции равна 2.

20. Высота трапеции

Основания трапеции равны 8 и 34, площадь равна 168. Высота:

\[ 168 = \frac{8 + 34}{2} \cdot h \]

\[ 168 = \frac{42}{2} \cdot h \]

\[ 168 = 21 \cdot h \]

\[ h = \frac{168}{21} = 8 \]

Ответ: Высота трапеции равна 8.

21. Второе основание трапеции

Основание трапеции равно 13, высота равна 5, площадь равна 50. Второе основание:

\[ 50 = \frac{13 + b}{2} \cdot 5 \]

\[ 100 = (13 + b) \cdot 5 \]

\[ 20 = 13 + b \]

\[ b = 20 - 13 = 7 \]

Ответ: Второе основание равно 7.

22. Площадь равнобедренной трапеции

Основания 14 и 26, периметр 60. Боковая сторона \( c = \frac{60 - 14 - 26}{2} = 10 \). Высота \( h \) образует прямоугольный треугольник с катетами \( h \) и \( \frac{26-14}{2} = 6 \), гипотенуза 10.

\[ h^2 + 6^2 = 10^2 \]

\[ h^2 = 100 - 36 = 64 \]

\[ h = 8 \]

Площадь: \( S = \frac{14 + 26}{2} \cdot 8 = 20 \cdot 8 = 160 \)

Ответ: Площадь равна 160.

23. Периметр равнобедренной трапеции

Основания 7 и 13, площадь 40. Высота: \( 40 = \frac{7 + 13}{2} \cdot h \), \( h = 4 \). Боковая сторона \( c \) образует прямоугольный треугольник с катетами 4 и \( \frac{13-7}{2} = 3 \).

\[ c^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \]

\[ c = 5 \]

Периметр: \( 7 + 13 + 5 + 5 = 30 \)

Ответ: Периметр равен 30.

24. Площадь прямоугольной трапеции

Основания 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45 градусов. Тогда высота равна разности оснований: \( h = 6 - 2 = 4 \). Площадь:

\[ S = \frac{6 + 2}{2} \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16 \]

Ответ: Площадь равна 16.

Ответ: смотри выше

Надеюсь, тебе все понятно! Помни, геометрия становится легче с практикой и пониманием основных формул. Не бойся задавать вопросы и продолжай учиться!