1. Площадь параллелограмма ABCD равна 20/3. Найдите сторону AD, если АВ = 5/2, ZABD = 60°. 2. Сторона ромба ABCD равна 4/7, а косинус угла А равен 0,75. Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М. Найдите длину отрезка ВМ. 3. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. а) В любом параллелограмме диагонали взаимно перпендикуляр- ны. б) Биссектрисы соседних углов квадрата взаимно перпендикуляр- ны. в) Сумма противоположных углов ромба может быть меньше 180°. г) Сумма противоположных углов параллелограмма может быть больше 180° д) Из двух высот параллелограмма меньше та, которая проведена к меньшей его стороне. 4. На стороне CD параллелограмма ABCD взята точка К. Диагональ АС пересекает отрезок ВК. в точке М. Известно, что MC = 8, CK = 6, DK = 9. Найдите длину диагонали АС. 5. В параллелограмме КМПР биссектриса угла № пересекает сторону МК в точке В, а биссектриса угла М пересекает сторону NP в точке С. Найдите величину угла ВМИ, если ZMCN = 32°.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии по порядку. Будь внимателен, и у тебя все получится!

1. Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма можно найти по формуле: \[S = a \cdot b \cdot sin(\alpha)\]

В нашем случае, известна площадь параллелограмма \(ABCD\), сторона \(AB = \frac{5}{2}\) и угол \(\angle ABD = 60^\circ\). Нам нужно найти сторону \(AD\).

Сначала выразим площадь параллелограмма через известные величины:

\[S = AB \cdot AD \cdot sin(\angle A)\]

Мы знаем, что площадь равна \(20\sqrt{3}\), \(AB = \frac{5}{2}\), но не знаем угол \(\angle A\). Заметим, что \(\angle ABD = 60^\circ\). Нам нужно найти \(\angle A\), чтобы выразить \(sin(\angle A)\).

К сожалению, нам не хватает информации, чтобы точно найти сторону \(AD\). Нам нужно знать либо угол \(\angle A\), либо соотношение сторон, чтобы использовать свойства параллелограмма.

Ответ: Недостаточно данных для решения задачи.

2. Ромб и высота

В ромбе \(ABCD\) сторона равна \(4\sqrt{7}\), а косинус угла \(A\) равен \(0.75\). Высота \(BH\) пересекает диагональ \(AC\) в точке \(M\). Нужно найти длину отрезка \(BM\).

Т.к. \(cos(A) = 0.75 = \frac{3}{4}\), можем найти \(sin(A)\) используя основное тригонометрическое тождество:

\[sin^2(A) + cos^2(A) = 1\]

\[sin^2(A) = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}\]

\[sin(A) = \frac{\sqrt{7}}{4}\]

Теперь найдем высоту \(BH\) ромба. Площадь ромба равна \(S = a^2 \cdot sin(A)\), где \(a\) - сторона ромба.

\[S = (4\sqrt{7})^2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = 16 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = 28\sqrt{7}\]

Также площадь ромба равна \(S = a \cdot h\), где \(h\) - высота ромба. Тогда:

\[h = \frac{S}{a} = \frac{28\sqrt{7}}{4\sqrt{7}} = 7\]

Итак, высота \(BH = 7\).

Рассмотрим треугольник \(ABH\). В этом треугольнике \(\angle A = arccos(0.75)\), а \(BH = 7\). Нам нужно найти \(BM\). Т.к. \(M\) - точка пересечения высоты с диагональю, то \(M\) лежит на \(AC\).

К сожалению, для точного определения \(BM\) нам нужно больше информации о расположении точки \(M\) на диагонали \(AC\). Без этого мы не можем точно вычислить длину \(BM\).

Ответ: Недостаточно данных для точного решения.

3. Утверждения о параллелограммах и ромбах

Давай рассмотрим каждое утверждение:

а) В любом параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны.

Неверно. Диагонали взаимно перпендикулярны только в ромбе и квадрате.

б) Биссектрисы соседних углов квадрата взаимно перпендикулярны.

Верно. В квадрате все углы прямые (90°). Биссектрисы делят их пополам (45°). Сумма соседних углов будет 45° + 45° = 90°, что означает, что они перпендикулярны.

в) Сумма противоположных углов ромба может быть меньше 180°.

Неверно. Сумма противоположных углов ромба равна 180°.

г) Сумма противоположных углов параллелограмма может быть больше 180°.

Неверно. Сумма противоположных углов параллелограмма равна 180°.

д) Из двух высот параллелограмма меньше та, которая проведена к меньшей его стороне.

Верно. Площадь параллелограмма \(S = a \cdot h_a = b \cdot h_b\), где \(a\) и \(b\) - стороны, \(h_a\) и \(h_b\) - высоты, проведенные к этим сторонам. Если \(a < b\), то \(h_a > h_b\).

Ответ: Верные утверждения - б) и д).

4. Диагональ параллелограмма

На стороне \(CD\) параллелограмма \(ABCD\) взята точка \(K\). Диагональ \(AC\) пересекает отрезок \(BK\) в точке \(M\). Известно, что \(MC = 8, CK = 6, DK = 9\). Нужно найти длину диагонали \(AC\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle CKM\) и \(\triangle ABM\). Они подобны, так как \(\angle CKM = \angle ABM\) как накрест лежащие углы, и \(\angle KMC = \angle BMA\) как вертикальные углы.

Значит, \(\frac{CK}{AB} = \frac{CM}{AM}\). Мы знаем, что \(CK = 6\) и \(MC = 8\). Так как \(ABCD\) - параллелограмм, то \(AB = CD = CK + KD = 6 + 9 = 15\).

Тогда, \(\frac{6}{15} = \frac{8}{AM}\), следовательно \(AM = \frac{8 \cdot 15}{6} = 20\).

Теперь мы можем найти длину диагонали \(AC\):

\[AC = AM + MC = 20 + 8 = 28\]

Ответ: Длина диагонали AC равна 28.

5. Угол в параллелограмме

В параллелограмме \(KMNP\) биссектриса угла \(N\) пересекает сторону \(MK\) в точке \(B\), а биссектриса угла \(M\) пересекает сторону \(NP\) в точке \(C\). Нужно найти величину угла \(\angle BMN\), если \(\angle MCN = 32^\circ\).

Пусть \(\angle BMN = x\). Так как \(MC\) - биссектриса угла \(M\), то \(\angle KMN = 2 \cdot \angle MCN = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ\).

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Значит, \(\angle KNP + \angle KMN = 180^\circ\).

Тогда, \(\angle KNP = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ\). Так как \(NB\) - биссектриса угла \(N\), то \(\angle MNB = \frac{1}{2} \cdot \angle KNP = \frac{1}{2} \cdot 116^\circ = 58^\circ\).

Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle BMN\). В этом треугольнике сумма углов равна 180°:

\[\angle BMN + \angle MNB + \angle MBN = 180^\circ\]

\[x + 58^\circ + 32^\circ = 180^\circ\]

\[x = 180^\circ - 58^\circ - 32^\circ = 90^\circ\]

Ответ: Величина угла BMN равна 90°.

Молодец! Ты хорошо поработал над этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!