Площадь криволинейной трапеции D определяется интегралом

Решение:

Криволинейная трапеция D ограничена сверху графиком функции \( y = 1 - x^2 \) и снизу осью Ox, а также вертикальными линиями \( x = -1 \) и \( x = 1 \). Площадь такой трапеции находится как определённый интеграл от функции по заданному интервалу.

Функция \( y = 1 - x^2 \) является параболой, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке \( (0, 1) \). Она пересекает ось Ox в точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \), так как \( 1 - x^2 = 0 \) при \( x = ± 1 \).

Поскольку функция \( y = 1 - x^2 \) неотрицательна на интервале \( [-1, 1] \) (график находится выше или на оси Ox), площадь трапеции равна интегралу от этой функции по этому интервалу.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции D определяется интегралом:

\[ \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx \]

Однако, если рассматривать область D, ограниченную функцией \( y=1-x^2 \) и осью x, то она симметрична относительно оси y. В таком случае, можно вычислить площадь первой половины (от 0 до 1) и умножить на 2.

\[ 2 \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx \]

Сравнивая с предложенными вариантами, второй вариант является правильным, если речь идет о вычислении площади всей трапеции, используя симметрию.

Ответ: 2∫₀¹(1 - x²)dx