Площадь четырёхугольника MNKP, описанного около окружности радиуса 7 см, равна 182 см². Найдите стороны четырёхугольника, если известно, что PK на 6 см больше MN, NK:MP=7:6.

Для четырёхугольника, описанного около окружности, площадь равна произведению радиуса на полупериметр:

\(S=r\cdot p\).

Найдём полупериметр:

\(p=\frac{S}{r}=\frac{182}{7}=26\) см.

Пусть \(MN=x\) см. Тогда \(PK=x+6\) см.

По условию \(NK:MP=7:6\), поэтому обозначим:

\(NK=7t\), \(MP=6t\).

Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:

\(MN+PK=NK+MP\),
\(x+(x+6)=7t+6t\),
\(2x+6=13t\).

Периметр равен \(2p=52\) см:

\(x+(x+6)+7t+6t=52\),
\(2x+6+13t=52\).

Так как \(13t=2x+6\), получаем:

\(2x+6+2x+6=52\),
\(4x=40\),
\(x=10\).

Тогда:

\(MN=10\) см, \(PK=16\) см.

Из равенства \(2x+6=13t\):

\(13t=26\), \(t=2\).

Следовательно:

\(NK=7\cdot2=14\) см,
\(MP=6\cdot2=12\) см.

Ответ: MN = 10 см, NK = 14 см, KP = 16 см, MP = 12 см.