Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему: S бок = 1/2 P ABCD * SM Задача 5 В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания и высота равны 2. Найти расстояние от центра основания до боковой грани. Решение:

Решение:

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 2, значит, периметр основания равен:

$$P_{ABCD} = 4 \cdot 2 = 8$$ Полупериметр равен:

$$p = \frac{P_{ABCD}}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Высота пирамиды равна ребру основания, то есть 2.

Апофема (SM) - это высота боковой грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM, где SO - высота пирамиды, OM - половина стороны основания.

По теореме Пифагора:

$$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$

Площадь боковой поверхности пирамиды:

$$S_{бок} = p \cdot SM = 4 \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$$

В задаче требуется найти расстояние от центра основания до боковой грани (ОК). Рассмотрим треугольник SOM. ОК - это высота, проведенная к гипотенузе SM. Площадь треугольника SOM можно найти двумя способами:

$$S_{SOM} = \frac{1}{2} \cdot SO \cdot OM = \frac{1}{2} \cdot OK \cdot SM$$

Выразим ОК:

$$OK = \frac{SO \cdot OM}{SM} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$$OK = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Ответ: $$OK = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$