План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м на 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение:

Участок представляет собой треугольник. Для нахождения его площади на клетчатой бумаге, где каждая клетка имеет площадь 1 м², можно использовать следующие подходы:

• Метод разбиения: Разбить треугольник на более простые фигуры (например, прямоугольники и треугольники), площадь которых легко вычислить, или использовать метод Пика.
• Формула площади треугольника: Если определить основание и высоту треугольника в метрах.

Рассмотрим изображение:

Треугольник занимает в ширину 4 клетки и в высоту 3 клетки. Можно заметить, что треугольник вписан в прямоугольник размером 4х3 клетки. Площадь этого прямоугольника равна 4 * 3 = 12 квадратных метров.

Площадь треугольника равна половине площади описанного вокруг него прямоугольника, если треугольник прямоугольный и катеты совпадают со сторонами прямоугольника. В данном случае, треугольник не прямоугольный. Однако, его площадь можно найти, вычитая площади прилегающих к нему треугольников из площади прямоугольника, в который он вписан.

В данном случае, треугольник занимает 6 полных клеток. Можно также посчитать это визуально:

Высота треугольника равна 3 клеткам (3 м), основание треугольника равно 4 клеткам (4 м). Однако, это не является основанием и высотой, перпендикулярными друг другу.

Посчитаем количество полных клеток внутри фигуры: 6 клеток.

Посчитаем количество клеток, которые фигура частично занимает. Их 8. Половина от этих клеток составит 4 клетки.

Общая площадь = Площадь полных клеток + Площадь половинчатых клеток = 6 + 4 = 10 квадратных метров.

Другой способ: треугольник имеет основание 4 клетки (4 м) и высоту 3 клетки (3 м), если рассматривать его как вписанный в прямоугольник 4х3. Его площадь будет равна: 1/2 * основание * высота, НО это верно только для прямоугольного треугольника или если высота и основание перпендикулярны.

Рассмотрим векторы вершин треугольника, если левая вершина в (0,0). Тогда вершины будут (0,0), (4,1), (0,3). Площадь равна 1/2 |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)| = 1/2 |0(1-3) + 4(3-0) + 0(0-1)| = 1/2 |12| = 6. Это неверно.

Правильный подсчет клеток: 6 целых клеток, 8 половинчатых клеток. 6 + 8/2 = 6 + 4 = 10.

Ответ: 10 квадратных метров.