Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, равен 24 см и делит диаметр в отношении 9:16. Найдите радиус окружности.

Question

Вопрос:

Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, равен 24 см и делит диаметр в отношении 9:16. Найдите радиус окружности.

Ответ:

Accepted Answer

Представим себе окружность с диаметром AB. Пусть из точки C на окружности опущен перпендикуляр CD на диаметр AB. Тогда CD = 24 см, и AD:DB = 9:16. Нам нужно найти радиус окружности.

Пусть AD = 9x и DB = 16x. Тогда диаметр AB = AD + DB = 9x + 16x = 25x. Радиус окружности R = AB/2 = 25x/2.

В прямоугольном треугольнике ACB высота CD, опущенная на гипотенузу AB, является средним пропорциональным между отрезками AD и DB, то есть:

$$CD^2 = AD \cdot DB$$

Подставим известные значения:

$$24^2 = 9x \cdot 16x$$ $$576 = 144x^2$$ $$x^2 = \frac{576}{144} = 4$$ $$x = \sqrt{4} = 2$$

Теперь найдем радиус окружности:

$$R = \frac{25x}{2} = \frac{25 \cdot 2}{2} = 25$$ Ответ: Радиус окружности равен 25 см.