1. Периметр равнобедренного треугольника равен 34 см. Найдите стороны треугольни- ка, если его основание на 2 см меньше боковой стороны. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 12 см отрезок ВК биссектриса, угол АВК равен 35°. Найдите КС, угол АВС, угол ВКС. 3. Ha основании KM равнобедренного треугольника КВМ отмечены точки С и Т так, что КС = МТ. Докажите, что a) ДКВС = ∆ΜΒT; б) ДСВМ – равнобедренный.

Решение задач:

1. Пусть (x) – длина боковой стороны равнобедренного треугольника, тогда основание будет (x - 2).

   Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон, поэтому можем записать уравнение:

   (x + x + (x - 2) = 34)

   (3x - 2 = 34)

   (3x = 36)

   (x = 12) ( ext{см})

   Значит, боковая сторона равна 12 см, а основание (12 - 2 = 10) см.

   Ответ: 12 см, 12 см, 10 см.

2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, BK – биссектриса угла ABC.

   (AC = 12) ( ext{см})

   (AK = KC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6) ( ext{см}) (т.к. в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой).

   Значит, (KC = 6) ( ext{см}).

   (∠ABK = 35°), тогда (∠ABC = 2 × ∠ABK = 2 × 35° = 70°) (т.к. BK – биссектриса).

   В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является высотой, значит, (∠BKA = 90°).

   (∠BKC = 90°)

   Ответ: KC = 6 см, ∠ABC = 70°, ∠BKC = 90°.

3. Дано: KM - основание равнобедренного треугольника KBM, KC = MT.

   Доказать:

   • а) ΔKBC = ΔMBT;
   • б) ΔCBM - равнобедренный.

   Доказательство:

   • a) Рассмотрим треугольники ΔKBC и ΔMBT.
     • KB = MB, так как ΔKBM - равнобедренный.
     • ∠BKM = ∠BMT, так как ΔKBM - равнобедренный.
     • KC = MT (по условию).

     Следовательно, ΔKBC = ΔMBT по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

   • б) Так как ΔKBC = ΔMBT, то BC = BT. Следовательно, ΔCBT - равнобедренный (по определению). Тогда углы при основании CT равны: ∠BCT = ∠BTC.

     ∠KCM = ∠KCB + ∠BCT. ∠KTM = ∠BTM + ∠BTC.

     ∠BCT = ∠BTC, ∠KCB = ∠BTM (т.к. ΔKBC = ΔMBT).

     Следовательно, ∠KCM = ∠KTM.

     KM - основание равнобедренного треугольника KBM.

     ∠M = ∠K.

     ΔKBM = ΔMBC (по стороне и двум прилежащим углам).

     Следовательно, ΔCBM – равнобедренный.

   Ответ: доказано.