Периметр равнобедренного треугольника с углом 120° равен 32. Найдите стороны этого треугольника. C AB = 120° A и ВС = B

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где угол A равен 120°, а периметр равен 32. Так как треугольник равнобедренный, то AB = AC. Обозначим AB = AC = x, тогда BC - основание.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому углы B и C равны:

$$ \angle B = \angle C = \frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30° $$

По теореме синусов:

$$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} $$

$$ \frac{BC}{\sin 120°} = \frac{x}{\sin 30°} $$

$$ BC = \frac{x \cdot \sin 120°}{\sin 30°} $$

Так как sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° = $$ \frac{\sqrt{3}}{2} $$ и sin 30° = $$ \frac{1}{2} $$, то

$$ BC = \frac{x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = x\sqrt{3} $$

Периметр треугольника ABC равен:

$$ P = AB + AC + BC = x + x + x\sqrt{3} = 2x + x\sqrt{3} = x(2 + \sqrt{3}) $$

По условию P = 32, тогда

$$ x(2 + \sqrt{3}) = 32 $$

$$ x = \frac{32}{2 + \sqrt{3}} $$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (2 - $$ \sqrt{3} $$):

$$ x = \frac{32(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{32(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 32(2 - \sqrt{3}) $$

$$ x ≈ 32(2 - 1.732) = 32 \cdot 0.268 ≈ 8.576 $$

Следовательно, AB = AC ≈ 8.576

$$ BC = x\sqrt{3} = 32(2 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 32(2\sqrt{3} - 3) ≈ 32(2 \cdot 1.732 - 3) = 32(3.464 - 3) = 32 \cdot 0.464 ≈ 14.848 $$

Округлим до десятых: AB = 8.6, BC = 14.8

Ответ: AB ≈ 8.6 и BC ≈ 14.8