Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 10 см, а ширину увеличить на 10 см, то площадь увеличится на 100. Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника.

Решение:

Обозначим первоначальную длину прямоугольника как \( L \) и ширину как \( W \).

Периметр прямоугольника равен \( P = 2(L + W) \).
По условию \( P = 70 \) см, значит, \( 2(L + W) = 70 \), откуда \( L + W = 35 \).

Новая длина будет \( L' = L - 10 \).
Новая ширина будет \( W' = W + 10 \).

Первоначальная площадь \( S = L \cdot W \).

Новая площадь \( S' = L' \cdot W' = (L - 10)(W + 10) \).

По условию, новая площадь увеличится на 100, то есть \( S' = S + 100 \).

Подставим выражения для площадей:

\( (L - 10)(W + 10) = L \cdot W + 100 \)

Раскроем скобки:

\( LW + 10L - 10W - 100 = LW + 100 \)

Упростим уравнение:

\( 10L - 10W - 100 = 100 \)

\( 10L - 10W = 200 \)

Разделим на 10:

\( L - W = 20 \)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( L + W = 35 \)
2. \( L - W = 20 \)

Сложим эти два уравнения:

\( (L + W) + (L - W) = 35 + 20 \)

\( 2L = 55 \)

\( L = \frac{55}{2} = 27.5 \) см.

Теперь найдем \( W \), подставив значение \( L \) в первое уравнение:

\( 27.5 + W = 35 \)

\( W = 35 - 27.5 = 7.5 \) см.

Проверим условие площади:

Первоначальная площадь: \( S = 27.5 \times 7.5 = 206.25 \) см².

Новая длина: \( L' = 27.5 - 10 = 17.5 \) см.

Новая ширина: \( W' = 7.5 + 10 = 17.5 \) см.

Новая площадь: \( S' = 17.5 \times 17.5 = 306.25 \) см².

Разница площадей: \( S' - S = 306.25 - 206.25 = 100 \) см².

Условие задачи выполнено.

Ответ: Длина первоначального прямоугольника равна 27.5 см, а ширина — 7.5 см.