Переместите красные точки так, чтобы противоположные стороны были параллельны. A=(1, 3), B=(3, 2), O=(4, 4)

Решение:

Задание связано с построением и перемещением точек на координатной плоскости. Для того чтобы противоположные стороны четырехугольника были параллельны, необходимо, чтобы он был параллелограммом. Координаты точек A, B, O заданы:

• A = (1, 3)
• B = (3, 2)
• O = (4, 4)

Для решения задачи необходимо определить координаты четвертой точки (обозначим ее как D) так, чтобы ABCD был параллелограммом. В параллелограмме векторы противолежащих сторон равны. Например, $$\vec{AB} = \vec{DC}$$.

Найдем координаты вектора $$\vec{AB}$$:

\[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (3 - 1, 2 - 3) = (2, -1) \]

Пусть координаты точки D будут (x, y). Тогда координаты вектора $$\vec{DC}$$:

\[ \vec{DC} = (x_C - x_D, y_C - y_D) = (4 - x, 4 - y) \]

Приравнивая векторы:

\[ (2, -1) = (4 - x, 4 - y) \]

Отсюда получаем систему уравнений:

• $$2 = 4 - x => x = 4 - 2 = 2$$
• $$-1 = 4 - y => y = 4 + 1 = 5$$

Таким образом, координаты точки D равны (2, 5).

Проверим, что ABCD является параллелограммом, используя свойство диагоналей: середины диагоналей AC и BD должны совпадать.

• Середина AC: $$(\frac{1+4}{2}, \frac{3+4}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{7}{2})$$
• Середина BD: $$(\frac{3+2}{2}, \frac{2+5}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{7}{2})$$

Середины совпадают, значит, ABCD — параллелограмм.

Ответ: Координаты четвертой точки D должны быть (2, 5).