243 Перед началом шахматной партии с помощью жребия игроки определяют, кто играет белыми, а кто — чёрными. Остап Бендер проводит сеанс одновре- менной игры с любителями шахмат города Васюки на 12 досках. Найдите ве- роятность того, что он будет играть белыми: а) ровно на 3 досках; б) ровно на 5 досках; в) хотя бы на 1 доске; г) по крайней мере на 2 досках

Вероятность играть белыми на одной доске: p = 0.5 (так как определяется жребием).

Вероятность играть черными на одной доске: q = 1 - p = 0.5.

a) Вероятность, что Остап Бендер будет играть белыми ровно на 3 досках (из 12):

$$P(X = 3) = C_{12}^3 p^3 q^9 = \frac{12!}{3!(12-3)!} \times (0.5)^3 \times (0.5)^9 = 220 \times (0.5)^{12} \approx 0.0537$$

б) Вероятность, что Остап Бендер будет играть белыми ровно на 5 досках (из 12):

$$P(X = 5) = C_{12}^5 p^5 q^7 = \frac{12!}{5!(12-5)!} \times (0.5)^5 \times (0.5)^7 = 792 \times (0.5)^{12} \approx 0.1934$$

в) Вероятность, что Остап Бендер будет играть белыми хотя бы на 1 доске:

$$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - C_{12}^0 p^0 q^{12} = 1 - (0.5)^{12} = 1 - 0.000244 = 0.999756$$.

г) Вероятность, что Остап Бендер будет играть белыми по крайней мере на 2 досках:

$$P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$$.

$$P(X=0) = C_{12}^0 (0.5)^{0} (0.5)^{12} = (0.5)^{12} = 0.000244$$

$$P(X=1) = C_{12}^1 (0.5)^{1} (0.5)^{11} = 12 \times (0.5)^{12} = 12 \times 0.000244 = 0.002928$$

$$P(X \ge 2) = 1 - 0.000244 - 0.002928 = 0.996828$$

Ответ: а) 0.0537; б) 0.1934; в) 0.999756; г) 0.996828