Part A: Find the length of side FE. Show each step of your work.

Решение:

По условию, треугольники \( \triangle DGH \) и \( \triangle DFE \) подобны. Следовательно, их соответствующие стороны пропорциональны.

1. Запишем отношение сторон:
   \( \frac{DG}{DF} = \frac{DH}{DE} = \frac{GH}{FE} \)
2. Подставим известные значения:
   \( GH = 12 \), \( DH = 9 \), \( GH/FE = 12/FE \)
3. Из подобия треугольников \( \triangle DGH \) и \( \triangle DFE \), мы можем использовать отношение сторон.
   Предположим, что \( DH = 9 \) и \( GH = 12 \).
   Также, \( DF = 16 \) и \( DE \) - неизвестно, \( FE \) - неизвестно.
4. Из подобия, мы имеем: \( \frac{DG}{DF} = \frac{GH}{FE} \).
   Нам нужно найти \( FE \).
   Мы знаем \( GH = 12 \) и \( DF = 16 \).
   Если мы рассмотрим подобие \( \triangle DGH \thicksim \triangle DFE \), то стороны, прилежащие к углу \( D \), пропорциональны.
5. Так как \( \triangle DGH \) и \( \triangle DFE \) подобны, то отношение сторон будет:
   \( \frac{DH}{DF} = \frac{GH}{FE} \)
6. Подставим известные значения:
   \( \frac{9}{16} = \frac{12}{FE} \)
7. Решим уравнение для \( FE \):
   \( 9 \times FE = 16 \times 12 \)
   \( 9 \times FE = 192 \)
   \( FE = \frac{192}{9} \)
   \( FE = \frac{64}{3} \)

Ответ: Длина стороны FE равна \( \frac{64}{3} \).